Nucleo è un ideale principale.
Sia \( \alpha : \mathbb{Z}[t] \to \mathbb{C} \) definita da \( \alpha(f) = f(2+i) \) dimostra che il nucleo di \( \alpha \) è un ideale principale ed esibisci un suo generatore.
Io ho pensato a questo:
Abbiamo che \( p(t) = t^2 - 4t + 5 = (t-(2+i))(t-(2-i)) \in \ker(\alpha) \). Inoltre \(p(t) \) è irriducibile in \( \mathbb{Z} [t] \) poiché non possiede radici intere. Inoltre abbiamo evidentemente che \( (p(t)) \subset \ker \alpha \) siccome per ogni polinomio \(q(t) \in \mathbb{Z}[t] \) risulta che \(q(2+i) p(2+i)= a \cdot 0 = 0 \) dunque \( q(t) p(t) \in \ker \alpha \).
Proviamo che \( \ker \alpha \subset (p(t)) \), allora siccome \( \mathbb{Z}[t] \) è fattoriale abbiamo che un qualunque polinomio \( a(t) \in \mathbb{Z}[t] \), in particolare \( a(t) \in \ker \alpha \) si scrive come
\[ a(t) = c p_1(t) \cdot \ldots \cdot p_k(t) \]
dove \( c \in \mathbb{Z}[t]^{\times} = \mathbb{Z}^{\times} \) e \( p_1, \ldots, p_k \) sono irriducibili.
Siccome \(a \in \ker \alpha \) risulta che \( a(2+i) = 0 \) e siccome per ogni polinomio a coefficienti interi se \( z \in \mathbb{C} \) è radice del polinomio risulta che \( \bar{z} \) è radice del polinomio abbiamo che \( a(2-i) = 0 \) pertanto \[ a(t) = d (t-(2+i))(t-(2-i)) \cdot q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \]
con \(d \in \mathbb{Z}^{\times} \) e \(q_1 , \ldots, q_{k-1} \) irriducibili. Dunque
\[ a(t) = q(t) p(t) \]
dove
\[ q(t) = d q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \]
Si può fare così? Mi viene il dubbio solo nella direzione che il ker è sottoinsieme di \( (p)\).
Nel senso non so se è legittima la scrittura di \( a(t) = d (t-(2+i))(t-(2-i)) \cdot q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \) in \( \mathbb{Z}[t] \)
Io ho pensato a questo:
Abbiamo che \( p(t) = t^2 - 4t + 5 = (t-(2+i))(t-(2-i)) \in \ker(\alpha) \). Inoltre \(p(t) \) è irriducibile in \( \mathbb{Z} [t] \) poiché non possiede radici intere. Inoltre abbiamo evidentemente che \( (p(t)) \subset \ker \alpha \) siccome per ogni polinomio \(q(t) \in \mathbb{Z}[t] \) risulta che \(q(2+i) p(2+i)= a \cdot 0 = 0 \) dunque \( q(t) p(t) \in \ker \alpha \).
Proviamo che \( \ker \alpha \subset (p(t)) \), allora siccome \( \mathbb{Z}[t] \) è fattoriale abbiamo che un qualunque polinomio \( a(t) \in \mathbb{Z}[t] \), in particolare \( a(t) \in \ker \alpha \) si scrive come
\[ a(t) = c p_1(t) \cdot \ldots \cdot p_k(t) \]
dove \( c \in \mathbb{Z}[t]^{\times} = \mathbb{Z}^{\times} \) e \( p_1, \ldots, p_k \) sono irriducibili.
Siccome \(a \in \ker \alpha \) risulta che \( a(2+i) = 0 \) e siccome per ogni polinomio a coefficienti interi se \( z \in \mathbb{C} \) è radice del polinomio risulta che \( \bar{z} \) è radice del polinomio abbiamo che \( a(2-i) = 0 \) pertanto \[ a(t) = d (t-(2+i))(t-(2-i)) \cdot q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \]
con \(d \in \mathbb{Z}^{\times} \) e \(q_1 , \ldots, q_{k-1} \) irriducibili. Dunque
\[ a(t) = q(t) p(t) \]
dove
\[ q(t) = d q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \]
Si può fare così? Mi viene il dubbio solo nella direzione che il ker è sottoinsieme di \( (p)\).
Nel senso non so se è legittima la scrittura di \( a(t) = d (t-(2+i))(t-(2-i)) \cdot q_1(t) \cdot \ldots \cdot q_{k-1}(t) \) in \( \mathbb{Z}[t] \)
Risposte
Hai dimostrato che $a(t)=q(t)p(t)$, l'ultimo step consiste nel dimostrare che $q(t)$ appartiene a $ZZ[t]$.
Considerando che gli interi gaussiani $R=ZZ$ sono UFD anche $R[t]$ è un UFD dove $ker \ \alpha$ coincide con $J=(t - (2 + i))$. Vedendo $ZZ[x]$ come sottoanello di $R[t]$ (e sottoalgebra, ovvero con la stessa unità), l'ideale che stiamo cercando è dato da $I=ZZ[x] \cap J$ da qui si vede che $I=(p(t))$ altrimenti non potrebbe stare in $ZZ[x]$.
Considerando che gli interi gaussiani $R=ZZ$ sono UFD anche $R[t]$ è un UFD dove $ker \ \alpha$ coincide con $J=(t - (2 + i))$. Vedendo $ZZ[x]$ come sottoanello di $R[t]$ (e sottoalgebra, ovvero con la stessa unità), l'ideale che stiamo cercando è dato da $I=ZZ[x] \cap J$ da qui si vede che $I=(p(t))$ altrimenti non potrebbe stare in $ZZ[x]$.
"Overflow94":
Hai dimostrato che $a(t)=q(t)p(t)$, l'ultimo step consiste nel dimostrare che $q(t)$ appartiene a $ZZ[t]$.
Considerando che gli interi gaussiani $R=ZZ$ sono UFD anche $R[t]$ è un UFD dove $ker \ \alpha$ coincide con $J=(t - (2 + i))$. Vedendo $ZZ[x]$ come sottoanello di $R[t]$ (e sottoalgebra, ovvero con la stessa unità), l'ideale che stiamo cercando è dato da $I=ZZ[x] \cap J$ da qui si vede che $I=(p(t))$ altrimenti non potrebbe stare in $ZZ[x]$.
Non ho capito perché devo dimostrare che \(q(t) \in \mathbb{Z}[t] \), nel senso non segue direttamente dalla fattorizzazione essenzialmente unica di \(a(t) \) in \( \mathbb{Z}[t] \) ?
Edit: alternativamente potrei tagliare la testa al toro e dire che siccome \( \mathbb{Z}[t] \) è euclideo allora per \( a(t) \in \ker \alpha \) posso trovare \(q \) ed \(r\) in \( \mathbb{Z}[t] \) tale che \(a(t)=q(t) p(t) + r(t) \) con \( \deg r < \deg p \). Ora siccome \( p, a \in \ker \alpha \) abbiamo che \( a(t)-q(t)p(t) = r(t) \in \ker \alpha \). Segue che \( \deg r = - \infty \) poiché se fosse di grado \( 0 \) oppure \(1 \) o non si annulla in \(2+i\) oppure (rispettivamente) non si annulla oppure non appartiene a \( \mathbb{Z}[t] \) se si annulla in \(2+i\). Pertanto \(r(t)=0\) e \(a(t)=q(t)p(t) \).
Nella prima dimostrazione mi sembra che tu stia mischiando la fattorizzazione di $a(x)$ in $ZZ[x]$ e quella di $a(x)$ in $CC[x]$. Quindi hai dimostrato che $a(x)=p(x)q(x)$ con $p(x), q(x) \in CC[x]$, sai anche che $p(x) \in ZZ[x]$, manca da dimostrare che anche $q(x) \in ZZ[x]$ per poter asserire che la fattorizzazione è valida anche in $ZZ[x]$. Ai miei occhi, avendo scarsa conoscenza di teoria dei campi e del teorema fondamentale dell'algebra, non è uno step così banale da poter essere omesso. Però forse per te è un risultato banale e stai dando per scontato qualche corollario che io non so.
Per quanto detto nell'ultimo post: se con $ZZ[x]$ stiamo intendendo l'anello dei polinomi (di grado finito) a coefficienti in $ZZ$, allora non è euclideo e neppure PID, altrimenti l'esercizio non avrebbe neanche molto senso poichè $ED \sub PID \sub UFD$. D'altronde non so neanche cosa significa in un ED avere degree $-\infty$ quindi può darsi che stiamo parlando di due anelli diversi usando notazioni completamente diverse.
Avendo studiato più approfonditamente solo la teoria degli anelli riporto una possibile dimostrazione che non utilizza il teorema fondamentale dell'algebra.
Teorema: se $F$ è una campo allora $F[x]$ è un dominio euclideo con il grado come norma.
(dimostrazione omessa)
Teorema: sia $F$ un campo, $r \in F$ e $p(x) \in F[x]$. Se $p(r)=0$ allora $p(x)=(x-r)q(x)$.
Dimostrazione. $p(x)=q(x)(x-r)+r(x)$, il grado di $d(r)=0$ quindi $r(x)=c \in F$ e $c=p(r)=0$.
Consideriamo l'omomorfismo d'anelli $\beta: CC[x] \rightarrow CC$ dato da $\beta(p)=p(2+i)$.
Per il teorema citato precedentemente $ker \ \beta $ è generato da $x - (2 +i)$. Poiché $RR[x]$ è un dominio euclideo $J = ker \ \beta \cap RR[x]$ è un ideale principale generato qualsiasi suo elemento di grado minimo. Supponendo che esista $p(x) \in J$ di grado $1$, si ha che in $CC[x]$ la fattorizzazione $p(x)= q(x)(x - (2 +i))$, poiché il grado di $q(x)$ può essere solo $0$ allora si deve avere $q(x)=c \in CC$. Non è possibile che $c(x - (2 +i))$ sia un polinomio a coefficienti reali, quindi giungiamo in contraddizione.
Da qui segue che $J$ è generato da $t(x)=x^2 - 4x + 5$. E poichè $ker \ \alpha = ker \ \beta \cap ZZ[x] = J \cap ZZ[x]$ e $t(x) \in ZZ[x]$ l'esercizio è concluso.
Per quanto detto nell'ultimo post: se con $ZZ[x]$ stiamo intendendo l'anello dei polinomi (di grado finito) a coefficienti in $ZZ$, allora non è euclideo e neppure PID, altrimenti l'esercizio non avrebbe neanche molto senso poichè $ED \sub PID \sub UFD$. D'altronde non so neanche cosa significa in un ED avere degree $-\infty$ quindi può darsi che stiamo parlando di due anelli diversi usando notazioni completamente diverse.
Avendo studiato più approfonditamente solo la teoria degli anelli riporto una possibile dimostrazione che non utilizza il teorema fondamentale dell'algebra.
Teorema: se $F$ è una campo allora $F[x]$ è un dominio euclideo con il grado come norma.
(dimostrazione omessa)
Teorema: sia $F$ un campo, $r \in F$ e $p(x) \in F[x]$. Se $p(r)=0$ allora $p(x)=(x-r)q(x)$.
Dimostrazione. $p(x)=q(x)(x-r)+r(x)$, il grado di $d(r)=0$ quindi $r(x)=c \in F$ e $c=p(r)=0$.
Consideriamo l'omomorfismo d'anelli $\beta: CC[x] \rightarrow CC$ dato da $\beta(p)=p(2+i)$.
Per il teorema citato precedentemente $ker \ \beta $ è generato da $x - (2 +i)$. Poiché $RR[x]$ è un dominio euclideo $J = ker \ \beta \cap RR[x]$ è un ideale principale generato qualsiasi suo elemento di grado minimo. Supponendo che esista $p(x) \in J$ di grado $1$, si ha che in $CC[x]$ la fattorizzazione $p(x)= q(x)(x - (2 +i))$, poiché il grado di $q(x)$ può essere solo $0$ allora si deve avere $q(x)=c \in CC$. Non è possibile che $c(x - (2 +i))$ sia un polinomio a coefficienti reali, quindi giungiamo in contraddizione.
Da qui segue che $J$ è generato da $t(x)=x^2 - 4x + 5$. E poichè $ker \ \alpha = ker \ \beta \cap ZZ[x] = J \cap ZZ[x]$ e $t(x) \in ZZ[x]$ l'esercizio è concluso.
"Overflow94":
Per quanto detto nell'ultimo post: se con $ZZ[x]$ stiamo intendendo l'anello dei polinomi (di grado finito) a coefficienti in $ZZ$, allora non è euclideo e neppure PID, altrimenti l'esercizio non avrebbe neanche molto senso poichè $ED \sub PID \sub UFD$. D'altronde non so neanche cosa significa in un ED avere degree $-\infty$ quindi può darsi che stiamo parlando di due anelli diversi usando notazioni completamente diverse.
Si scusami, intendevo dire, che possiamo fare la divisione euclidea perché \( \mathbb{Z}\) è un anello commutativo.
Ripensando alla tua prima dimostrazione, in effetti è banale dimostrare che se $a(x)=p(x)q(x)$ e $a(x),p(x) \in ZZ[x]$ implica $q(x) \in ZZ[x]$ considerando il fatto che il leading term di $p(x)$ ha coefficiente $1$, $LT(p)=x^2$. Se esiste un termine di $q(x)$ di grado $n$ con coefficiente non intero allora anche il termine di grado $n+2$ di $a(x)$ avrebbe un coefficiente non intero.
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