Notazioni logiche
Ciao, amici, sono di nuovo qui con una domanda sulle notazioni...
Volevo chiedere se siano considerate accettabili o usate nei testi, specialmente di matematica, due tipi di notazione logica:
-\(\forall x\quad P(x)\Rightarrow Q\) al posto di quello che leggo essere lo standard \(\forall x(P(x)\Rightarrow Q)\) per indicare che, per ogni $x$, se vale \(P(x)\) allora vale $Q$;
-\((\forall x P(x))\Rightarrow Q\) per evitare la confusione che potrebbe insorgere, specialmente accettando una scrittura come quella di qui sopra, ma anche semplicemente affinché non sia fuorviato il lettore meno esperto, per indicare che, se vale \(P(x)\) per ogni $x$, allora $Q$;
-\(\forall x,y P(x,y)\) invece dello standard \(\forall x\forall y P(x,y)\)
e ogni espressione analoga ottenuta sostituendo a $x$ e $y$ \(x\in S\) e \(y\in T\) o espressioni equivalenti, come per es. $x>k$.
Grazie a tutti!!!
Volevo chiedere se siano considerate accettabili o usate nei testi, specialmente di matematica, due tipi di notazione logica:
-\(\forall x\quad P(x)\Rightarrow Q\) al posto di quello che leggo essere lo standard \(\forall x(P(x)\Rightarrow Q)\) per indicare che, per ogni $x$, se vale \(P(x)\) allora vale $Q$;
-\((\forall x P(x))\Rightarrow Q\) per evitare la confusione che potrebbe insorgere, specialmente accettando una scrittura come quella di qui sopra, ma anche semplicemente affinché non sia fuorviato il lettore meno esperto, per indicare che, se vale \(P(x)\) per ogni $x$, allora $Q$;
-\(\forall x,y P(x,y)\) invece dello standard \(\forall x\forall y P(x,y)\)
e ogni espressione analoga ottenuta sostituendo a $x$ e $y$ \(x\in S\) e \(y\in T\) o espressioni equivalenti, come per es. $x>k$.
Grazie a tutti!!!
Risposte
Per quanto riguarda l'ultima, io l'ho vista sovente su testi e su lavagne, direi che è comunemente accettata
"DavideGenova":
-\(\forall x,y P(x,y)\) invece dello standard \(\forall x\forall y P(x,y)\)
e ogni espressione analoga ottenuta sostituendo a $x$ e $y$ \(x\in S\) e \(y\in T\) o espressioni equivalenti, come per es. $x>k$.
Grazie a tutti!!!
Parlando da non esperto del settore, insomma da persona che ha fatto un esame di logica ma nulla più.
Sono semplicemente utili abbreviazioni. Il primo è ovviamente innocuo. Il secondo è un po' più macchinoso ma se \(\displaystyle \psi \) e \(\displaystyle \phi \) sono formula che esprimono l'appartenenza a \(\displaystyle S \) e \(\displaystyle T \) rispettivamente allora \(\forall x\in S,\forall y\in T \bigl[P(x,y)\bigr]\) è equivalente a \(\forall x, y \bigl[\psi(x)\wedge \phi(y) \to P(x,y)\bigr]\). D'altra parte, quando ci si trova ad usare in \(\displaystyle P \) simboli di funzioni che appartengono a particolari insiemi allora la cosa diventa piuttosto innocua perché \(\displaystyle P \) potrebbe non avere senso per \(\displaystyle x\notin S \) e \(\displaystyle y\notin T \). Insomma risulterebbe più qualcosa per ricordarci in che insieme ci troviamo. In genere però ci troviamo nel caso più generico spiegato prima.
$\infty$ grazie a tutti e due!
Quanto a \( \forall x\quad P(x)\Rightarrow Q \), invece di \( \forall x(P(x)\Rightarrow Q) \), per indicare che, per ogni $ x $, se vale \( P(x) \) allora vale $ Q $, ho trovato qualcosa di vagamente simile nella definizione di limite di una funzione $f$ per $x\to x_0$ nel mio libro di analisi:
Il mio testo di logica, il Varzi-Nolt-Rohatyn, sottolinea l'inutilità della ridondanza di parentesi, tuttavia mi chiedo, con riferimento al secondo punto, se sia del tutto illegittima, anche se non "ufficiale", la scrittura \( (\forall x P(x))\Rightarrow Q \) per indicare che, se vale \( P(x) \) per ogni $ x $, allora $ Q $, per evitare fraintendimenti con \( \forall x (P(x)\Rightarrow Q) \)...
Quanto a \( \forall x\quad P(x)\Rightarrow Q \), invece di \( \forall x(P(x)\Rightarrow Q) \), per indicare che, per ogni $ x $, se vale \( P(x) \) allora vale $ Q $, ho trovato qualcosa di vagamente simile nella definizione di limite di una funzione $f$ per $x\to x_0$ nel mio libro di analisi:
\[\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon \]anche se bisogna notare che la variabile \(\varepsilon\) è presente nel conseguente, che non avrebbe senso se le quantificazioni si riferissero all'antecedente piuttosto che all'implicazione. Tuttavia non sono certo che tali notazioni non siano poco accettate.
Il mio testo di logica, il Varzi-Nolt-Rohatyn, sottolinea l'inutilità della ridondanza di parentesi, tuttavia mi chiedo, con riferimento al secondo punto, se sia del tutto illegittima, anche se non "ufficiale", la scrittura \( (\forall x P(x))\Rightarrow Q \) per indicare che, se vale \( P(x) \) per ogni $ x $, allora $ Q $, per evitare fraintendimenti con \( \forall x (P(x)\Rightarrow Q) \)...
Che io sappia l'inutilità delle parentesi ha senso solo se si usa la notazione prefissa. Altrimenti le parentesi sono necessarie.
Sì, è solo la ridondanza che il mio testo considera scorretta, nel senso che, per esempio, dice che \(P\land \lnot Q\) è una formula ben formata mentre \(P\land (\lnot Q)\) è considerata sbagliata dal mio libro.
Tuttavia mi chiedo se in presenza per esempio di formule quantificate o negate legate con connettivi logici ad altre formule sia in una certa misura lecito, benché non "ufficiale", racchiuderle tra parentesi per maggior chiarezza... Un esempio di tale uso delle parentesi l'ho trovato proprio adesso qui per la negazione di $Q$.
Tuttavia mi chiedo se in presenza per esempio di formule quantificate o negate legate con connettivi logici ad altre formule sia in una certa misura lecito, benché non "ufficiale", racchiuderle tra parentesi per maggior chiarezza... Un esempio di tale uso delle parentesi l'ho trovato proprio adesso qui per la negazione di $Q$.
Il mio professore ci ha fatto fare la dimostrazione del fatto che la notazione prefissa fosse priva di ambiguità, ma per il resto ci lasciava abbastanza liberi di scrivere quel che volevamo nel limite del sensato. È però evidente che se sai leggere le formule senza parentesi trovi facile leggere quelle con le parentesi mentre se non sei abituato poi devi pensare tutte le volte all'ordine con cui si fanno le operazioni. Io per esempio non lo ricordo tantissimo. Insomma penso lo faccia per ragioni educative.
DavideGenova,
rispondo senza aver letto gli altri commenti di risposta.
posso dirti di averle incontrate tutte, dovrei ricordare dove ho incontrato l'ultima..
, per il resto penso possa funzionare, una sola cosa però "\( Q \) cosa è? Un predicato?"..
Saluti
rispondo senza aver letto gli altri commenti di risposta.
"DavideGenova":
Ciao, amici, sono di nuovo qui con una domanda sulle notazioni...
Volevo chiedere se siano considerate accettabili o usate nei testi, specialmente di matematica, due tipi di notazione logica:
-\(\forall x\quad P(x)\Rightarrow Q\) al posto di quello che leggo essere lo standard \(\forall x(P(x)\Rightarrow Q)\) per indicare che, per ogni $x$, se vale \(P(x)\) allora vale $Q$;
-\((\forall x P(x))\Rightarrow Q\) per evitare la confusione che potrebbe insorgere, specialmente accettando una scrittura come quella di qui sopra, ma anche semplicemente affinché non sia fuorviato il lettore meno esperto, per indicare che, se vale \(P(x)\) per ogni $x$, allora $Q$;
-\(\forall x,y P(x,y)\) invece dello standard \(\forall x\forall y P(x,y)\)
e ogni espressione analoga ottenuta sostituendo a $x$ e $y$ \(x\in S\) e \(y\in T\) o espressioni equivalenti, come per es. $x>k$.
Grazie a tutti!!!
posso dirti di averle incontrate tutte, dovrei ricordare dove ho incontrato l'ultima..
, per il resto penso possa funzionare, una sola cosa però "\( Q \) cosa è? Un predicato?".. Saluti
"garnak.olegovitc":Sì, avrei dovuto precisarlo. $\infty$ grazie anche a te!
"\( Q \) cosa è? Un predicato?"
Salve, scusate se mi intrometto in questo topic. So di avere problemi con la logica e con il linguaggio, perciò sto leggendo delle dispense di logica per colmare le mie lacune. Continuo ad avere problemi con le notazioni. Ad esempio, ad un certo punto leggo: "intenderemo che $x$ rappresenti un numero reale". E ancora dopo, "sottintendendo che $x$ indica un numero reale". Il problema è che continuo a trovare frasi di questo tipo terribilmente ambigue, e non riesco a capire quale significato si vuole dare alla frase. Infatti non so se si voglia dire che:
1) x sta per numero reale, cioé x=numero reale, cioé x coincide con numero reale...insomma ci siamo capiti spero, x sintetizza la scrittura numero reale, è un modo sintetico di dire "numero reale" e ciò è molto intuitivo nonché comodo e veloce perché anziché ripetere ogni volta nella mia teoria la locuzione "numero reale", posso dire semplicemente x ;
2) x coincide con ciò che "numero reale" denota. In questo caso, quindi, x potrebbe coincidere con 3, con 4, con 5, con 7,8889.......insomma qui x è identificato non con la parola "numero reale", ma con ciò che "numero reale" rappresenta.
Numero reale ha un significato, può essere 1,2,3,-4,-4,555 ecc...Mi chiedo quindi se con quella frase si identifichi il significato di numero reale con x.
E' evidente la differenza tra le due interpretazioni e io non riesco a capire qual è il vero senso di frasi simili. Ho già affrontato la questione nel topic sulle definizioni, anche se parzialmente e mi è sembrato opportuno postare qui. Io propendo per l'opzione 1 che è la più sensata, ma non ci metterei la mano sul fuoco. Per cercare di risolvere il dubbio ho aperto il dizionario alle voci "indicare, denotare, rappresentare" e ho notato che tali verbi significano un sacco di cose e che sono anche dei sinonimi.
Ho un'altra domanda poi: nei monomi o nei polinomi, i simboli x,y,z ecc. stanno per "numeri"? Il libro dice che x rappresenta un numero, e ritorniamo alla domanda di sopra. Confido nella vostra saggezza!!!
La cosa che mi preme sapere, oltre alla risposta corretta, è se anche voi notate ambiguità in frasi simili. Non vorrei essere l'unico a vedere sempre tutto storto, significherebbe che ho dei problemi!!!
1) x sta per numero reale, cioé x=numero reale, cioé x coincide con numero reale...insomma ci siamo capiti spero, x sintetizza la scrittura numero reale, è un modo sintetico di dire "numero reale" e ciò è molto intuitivo nonché comodo e veloce perché anziché ripetere ogni volta nella mia teoria la locuzione "numero reale", posso dire semplicemente x ;
2) x coincide con ciò che "numero reale" denota. In questo caso, quindi, x potrebbe coincidere con 3, con 4, con 5, con 7,8889.......insomma qui x è identificato non con la parola "numero reale", ma con ciò che "numero reale" rappresenta.
Numero reale ha un significato, può essere 1,2,3,-4,-4,555 ecc...Mi chiedo quindi se con quella frase si identifichi il significato di numero reale con x.
E' evidente la differenza tra le due interpretazioni e io non riesco a capire qual è il vero senso di frasi simili. Ho già affrontato la questione nel topic sulle definizioni, anche se parzialmente e mi è sembrato opportuno postare qui. Io propendo per l'opzione 1 che è la più sensata, ma non ci metterei la mano sul fuoco. Per cercare di risolvere il dubbio ho aperto il dizionario alle voci "indicare, denotare, rappresentare" e ho notato che tali verbi significano un sacco di cose e che sono anche dei sinonimi.
Ho un'altra domanda poi: nei monomi o nei polinomi, i simboli x,y,z ecc. stanno per "numeri"? Il libro dice che x rappresenta un numero, e ritorniamo alla domanda di sopra. Confido nella vostra saggezza!!!
La cosa che mi preme sapere, oltre alla risposta corretta, è se anche voi notate ambiguità in frasi simili. Non vorrei essere l'unico a vedere sempre tutto storto, significherebbe che ho dei problemi!!!
Nei polinomi in $ x $ ad esempio, la $ x $ si chiama variabile perché rappresenta un numero qualsiasi appartenente all'anello cui appartiene il polinomio. Per capirci, è come le $ x $ nelle funzioni: variano, possono assumere qualunque valore nel dominio.
Credo che frasi in cui si dice "intenderemo che $ x $ rappresenti un numero reale" intendano proprio questo, ossia che $ x $ è un qualsiasi numero reale. Non importa quale, importa sapere che $ xinRR $.
Spero di essere stato d'aiuto
Credo che frasi in cui si dice "intenderemo che $ x $ rappresenti un numero reale" intendano proprio questo, ossia che $ x $ è un qualsiasi numero reale. Non importa quale, importa sapere che $ xinRR $.
Spero di essere stato d'aiuto
ok, quindi ad esempio se ho il monomio $3x$, posso equivalentemente passare alla scrittura 3*numero reale?
"lisdap":
ok, quindi ad esempio se ho il monomio $3x$, posso equivalentemente passare alla scrittura 3*numero reale?
\( 3x\) con \( x \in \Bbb{R} \).. penso sia meglio
Saluti
"lisdap":Provo a risponderti perché, anche se sono molto ignorante, in linguistica e semiotica lo sono comunque molto meno che in matematica... A me non è affatto evidente la differenza: dire che $x$ è una notazione usata per significare un qualunque numero reale e che $x$ coincide con ciò che l'espressione italiana "numero reale [qualunque]" significa mi sembra del tutto identico. Probabilmente ti sto fraintendendo. Do per scontato che tu non ti stia chiedendo se $x$ possa rappresentare o coincida con la parola "numero reale", con il significante invece che con il significato, perché lì vedrei sì una differenza, ma ovviamente un testo di matematica non usa così le "$x$"...
1) x sta per numero reale, cioé x=numero reale, cioé x coincide con numero reale[...]
2) x coincide con ciò che "numero reale" denota. In questo caso, quindi, x potrebbe coincidere con 3, con 4, con 5, con 7,8889.......[...]
E' evidente la differenza tra le due interpretazioni
esatto davide, x coincide con il significante di "numero reale" o con il significato? Proprio questo è il mio dubbio! Ciao
@lisdap,
io non capisco dove sta il problema/il dubbio... se presenti i reali assiomaticamente non ti interessa cosa essi siano
P.S.= \(\Bbb{R} \) è un qualsiasi campo ordinato completo secondo Dedekind...
"lisdap":
esatto davide, x coincide con il significante di "numero reale" o con il significato? Proprio questo è il mio dubbio! Ciao
io non capisco dove sta il problema/il dubbio... se presenti i reali assiomaticamente non ti interessa cosa essi siano
P.S.= \(\Bbb{R} \) è un qualsiasi campo ordinato completo secondo Dedekind...
Nell'algebra questi tuoi dubbi risultano un po' insignificanti perché in realtà \(x\) non è affatto un numero reale, è un polinomio! Insomma è il testo che semplifica forse troppo alcune questioni. Quindi all'interno dell'algebra tu ha un elemento particolare che si comporta in un certo modo. Ci sono varie definizioni diverse abbastanza equivalenti, e non mi addentrerò ad usarne una o l'altra.
Nella logica e in particolare quando scrivi qualcosa del tipo “\(\displaystyle x+2 = y \)” allora la scrittura è valida in qualsiasi insieme su cui abbiamo definito un elemento chiamato 2 e in cui è definita la somma. La x e la y sono solo ed esclusivamente dei simboli che devono essere interpretati per poter dare un significato della scrittura nell'insieme considerato. Ma devi capire che x e y non sono elementi di un insieme, sono lettere che possono essere sostituite con elementi espliciti oppure può essere vincolata attraverso un quantificatore. Insomma hanno significato solo all'interno di un certo modello, cioè quando la formula viene interpretata e valutata.
I polinomi sono spesso descritti in modo simile ma una impostazione di questo tipo, seppur intuitiva è poco pratica e una definizione formalmente più corretta e potente è generalmente preferibile. Insomma, a meno che tu non vada alle superiori
.
Nella logica e in particolare quando scrivi qualcosa del tipo “\(\displaystyle x+2 = y \)” allora la scrittura è valida in qualsiasi insieme su cui abbiamo definito un elemento chiamato 2 e in cui è definita la somma. La x e la y sono solo ed esclusivamente dei simboli che devono essere interpretati per poter dare un significato della scrittura nell'insieme considerato. Ma devi capire che x e y non sono elementi di un insieme, sono lettere che possono essere sostituite con elementi espliciti oppure può essere vincolata attraverso un quantificatore. Insomma hanno significato solo all'interno di un certo modello, cioè quando la formula viene interpretata e valutata.
I polinomi sono spesso descritti in modo simile ma una impostazione di questo tipo, seppur intuitiva è poco pratica e una definizione formalmente più corretta e potente è generalmente preferibile. Insomma, a meno che tu non vada alle superiori
.
"lisdap":"$x$" è il significante di numero reale (qualsiasi), mentre il significato di "$x$" è numero reale (indeterminato). In un testo qualunque notazioni matematiche, frasi in qualunque idioma, numeri di pagina ecc. sono simboli, in senso semiotico, significanti oggetti significati che possono essere numeri, relazioni matematiche, insiemi ecc..
esatto davide, x coincide con il significante di "numero reale" o con il significato?
Nota che dire che "$x$" è il significante di numero reale (qualunque) è come dire che "casa" è il significante di quell'edificio (uno qualunque) in cui gli esseri umani solgono cercare rifugio.
Attenzione che, naturalmente, un testo di matematica è altamente improbabile che utilizzi un segno come "$x$" come significante del significante di numero reale, cioè come significante della parola "numero reale": il significato di "$x$" verosimilmente non sarà mai il significante di numero reale, cioè la parola "numero reale": se vedi scritto $3x$, questo non significa evidentemente \(3\times(\text{la parola "numero reale"})\). "$x$" è invece il significante di numero reale (qualsiasi) e "$3x$" è il significante di \(3\times(\text{un numero reale qualunque})\).
Ti rispondo interpretando come linguistica la natura del tuo dubbio... La matematica usa simboli così come le lingue usano simboli. Secondo me potrebbe interessarti qualche lettura di linguistica generale, in rete o altrove. Il testo più breve su cui studiai io è Prospettive di linguistica del mio prof. U. Rapallo, ma c'è l'imbarazzo della scelta... Non credo che dovresti meravigliarti se il linguaggio matematico utilizza segni come ogni altro linguaggio, altrimenti detto: ti consiglio di farti meno s***e mentali
e di continuare però a porti domande su tutto, che questo, sì, è positivo.
Siccome \(x\), nei polinomi, non significa numero reale direi che i discorsi che state facendo sono un po' campati in aria.
Mi sembra in questo caso utile mostrare che cos'è un polinomio per un matematico in modo da eliminare l'idea che \(x\) sia un numero reale. Prima di tutto bisogna distinguere tra polinomi e funzioni polinomiali, seppur siano isomorfe ad un quozionte dell'insieme dei polinomi. Inoltre non è affatto detto che una funzione polinomiale sia tra \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{R} \). Anche rimanendo collegato ai polinomi di \(\displaystyle \mathbb{R}[x] \) posso avere funzioni polinomiali da qualsiasi \(\displaystyle \mathbb{R} \)-algebra in sé stessa. Basti pensare al teorema di Cayley-Hamilton che afferma che ogni matrice quadrata è uno zero del suo polinomio caratteristico (quindi in questo caso \(\displaystyle x \) viene valutato come una matrice!).
Veniamo ora a 2 diverse definizioni, la prima assolutamente concreta e la seconda completamente categoriale.
DEFINIZIONE 1: Sia \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle \mathbb{N}\) in \(\displaystyle \mathbb{R}\). Su questo insieme definiamo una somma \(\displaystyle (f + g)(n) = f(n) + g(n) \), una moltiplicazione \(\displaystyle (f \cdot g)(n) = \sum_{i+j = n} f(i)g(j) \) e una moltiplicazione esterna con \(\displaystyle \mathbb{R}\) definita come \(\displaystyle r\cdot f(n) = rf(n) \). Nelle definizioni ho usato le operazioni su \(\displaystyle \mathbb{R}\). Noterete che ho definito le operazioni in modo simile a quello dei polinomi ed in effetti questo insieme è l'algebra delle serie formali. Si noti che ogni somma viene fatta tra un numero finito di elementi e quindi è ben definita.
I polinomi sono una sottoalgebra di questo insieme. In particolare sono il sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) delle funzioni tali che \(\displaystyle f(n) \neq 0 \) solo per un numero finito di \(\displaystyle n \). È abbastanza facile vedere che questo insieme è chiuso per le operazioni definite su \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\). Come vedere in questo caso \(\displaystyle x \) è la funzione tale che
\(\displaystyle x(n) = \begin{cases}1 &\text{se } n = 1 \\0 &\text{altrimenti } \end{cases} \)
si vede immediatamente che
\(\displaystyle x^m(n) = \begin{cases}1 &\text{se } n = m \\0 &\text{altrimenti } \end{cases} \)
quindi per certi versi \(\displaystyle x \) funge sia da operatore di “shift” che da segnaposto. Ma non ci sono modi in cui esso possa essere considerato un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Un modo alternativo di definirlo è usando una proprietà universale. Una proprietà universale è una proprietà che definisce un particolare insieme a meno di isomorfismi. Cioè ogni costruzione che soddisfa questa proprietà è isomorfo all'insieme di riferimento.
PROPRIETA' UNIVERSALE: Sia \(\displaystyle A \) un anello, allora si definisce anello dei polinomi di \(\displaystyle A \) in una variabile \(\displaystyle x \), una qualsiasi tripletta \(\displaystyle (A[x], x, i) \) dove \(\displaystyle A[x] \) è un anello, \(\displaystyle i\colon A\to A[x] \) è un morfismo di anelli e \(\displaystyle x\in A[x]\setminus iA \), tale che per ogni morfismo di anelli \(\displaystyle f\colon A\to B \) ed elemento \(\displaystyle b\in B \) esista un unico morfismo di anelli \(\displaystyle g\colon A[x]\to B \) tale che \(\displaystyle g\circ i = f \) e \(\displaystyle g(x) = b \).
In questo senso si potrebbe capire come il considerare \(\displaystyle x \) un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) sia una scelta molto limitante.
Mi sembra in questo caso utile mostrare che cos'è un polinomio per un matematico in modo da eliminare l'idea che \(x\) sia un numero reale. Prima di tutto bisogna distinguere tra polinomi e funzioni polinomiali, seppur siano isomorfe ad un quozionte dell'insieme dei polinomi. Inoltre non è affatto detto che una funzione polinomiale sia tra \(\displaystyle \mathbb{R} \) e \(\displaystyle \mathbb{R} \). Anche rimanendo collegato ai polinomi di \(\displaystyle \mathbb{R}[x] \) posso avere funzioni polinomiali da qualsiasi \(\displaystyle \mathbb{R} \)-algebra in sé stessa. Basti pensare al teorema di Cayley-Hamilton che afferma che ogni matrice quadrata è uno zero del suo polinomio caratteristico (quindi in questo caso \(\displaystyle x \) viene valutato come una matrice!).
Veniamo ora a 2 diverse definizioni, la prima assolutamente concreta e la seconda completamente categoriale.
DEFINIZIONE 1: Sia \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) l'insieme delle funzioni da \(\displaystyle \mathbb{N}\) in \(\displaystyle \mathbb{R}\). Su questo insieme definiamo una somma \(\displaystyle (f + g)(n) = f(n) + g(n) \), una moltiplicazione \(\displaystyle (f \cdot g)(n) = \sum_{i+j = n} f(i)g(j) \) e una moltiplicazione esterna con \(\displaystyle \mathbb{R}\) definita come \(\displaystyle r\cdot f(n) = rf(n) \). Nelle definizioni ho usato le operazioni su \(\displaystyle \mathbb{R}\). Noterete che ho definito le operazioni in modo simile a quello dei polinomi ed in effetti questo insieme è l'algebra delle serie formali. Si noti che ogni somma viene fatta tra un numero finito di elementi e quindi è ben definita.
I polinomi sono una sottoalgebra di questo insieme. In particolare sono il sottoinsieme di \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) delle funzioni tali che \(\displaystyle f(n) \neq 0 \) solo per un numero finito di \(\displaystyle n \). È abbastanza facile vedere che questo insieme è chiuso per le operazioni definite su \(\displaystyle \mathbb{R}^{\mathbb{N}}\). Come vedere in questo caso \(\displaystyle x \) è la funzione tale che
\(\displaystyle x(n) = \begin{cases}1 &\text{se } n = 1 \\0 &\text{altrimenti } \end{cases} \)
si vede immediatamente che
\(\displaystyle x^m(n) = \begin{cases}1 &\text{se } n = m \\0 &\text{altrimenti } \end{cases} \)
quindi per certi versi \(\displaystyle x \) funge sia da operatore di “shift” che da segnaposto. Ma non ci sono modi in cui esso possa essere considerato un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R}\).
Un modo alternativo di definirlo è usando una proprietà universale. Una proprietà universale è una proprietà che definisce un particolare insieme a meno di isomorfismi. Cioè ogni costruzione che soddisfa questa proprietà è isomorfo all'insieme di riferimento.
PROPRIETA' UNIVERSALE: Sia \(\displaystyle A \) un anello, allora si definisce anello dei polinomi di \(\displaystyle A \) in una variabile \(\displaystyle x \), una qualsiasi tripletta \(\displaystyle (A[x], x, i) \) dove \(\displaystyle A[x] \) è un anello, \(\displaystyle i\colon A\to A[x] \) è un morfismo di anelli e \(\displaystyle x\in A[x]\setminus iA \), tale che per ogni morfismo di anelli \(\displaystyle f\colon A\to B \) ed elemento \(\displaystyle b\in B \) esista un unico morfismo di anelli \(\displaystyle g\colon A[x]\to B \) tale che \(\displaystyle g\circ i = f \) e \(\displaystyle g(x) = b \).
In questo senso si potrebbe capire come il considerare \(\displaystyle x \) un elemento di \(\displaystyle \mathbb{R} \) sia una scelta molto limitante.
"vict85":Certo, Vict, la $X$ di \(3X\in\mathbb{R}[X]\) non è un numero reale, ma personalmente mi riferivo alla $x$ che lisdap cita in "intenderemo che $x$ rappresenti un numero reale" e credo che tutti stiamo dando per scontato che quando Frink e lisdap hanno parlato di polinomi (o monomi) si riferissero a funzioni polinomiali. Non so neanche se al punto in cui è lisdap negli studi sia arrivato all'algebra degli anelli polinomiali...
direi che i discorsi che state facendo sono un po' campati in aria.
Si, ma vedi, anche se si considera in termini di funzione polinomiale si potrebbe dire che \(x\) è in realtà una funzione, di fatto è l'identità (in generale si potrebbe dire che è la proiezione sulla prima componente).
Immagino la domanda abbia più senso su qualcosa di molto più formale come il significato di una variabile libera in una formula nella logica proposizionale. In questo caso la variabile (supponendo di limitarci ai reali) è da intendersi come dice Davide. Anche se puoi limitati a considerarlo come qualcosa che ne fa le veci. Insomma una proposizione in cui è presente una variabile libera non è né vera ne falsa, e un termine aperto non ha 'risultato'. Lo assume se tu specializzi o quantifichi usando un quantificatore. Pensa ad una proposizione falsa per ogni x, allora l'insieme che puoi sostituire alla x che rende vera la proposizione è vuoto.
Immagino la domanda abbia più senso su qualcosa di molto più formale come il significato di una variabile libera in una formula nella logica proposizionale. In questo caso la variabile (supponendo di limitarci ai reali) è da intendersi come dice Davide. Anche se puoi limitati a considerarlo come qualcosa che ne fa le veci. Insomma una proposizione in cui è presente una variabile libera non è né vera ne falsa, e un termine aperto non ha 'risultato'. Lo assume se tu specializzi o quantifichi usando un quantificatore. Pensa ad una proposizione falsa per ogni x, allora l'insieme che puoi sostituire alla x che rende vera la proposizione è vuoto.
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