Notazione ciclica di una permutazione
Salve , potete spiegarmi il seguente risultato : (1 5 ) (1 4 ) (1 3) (1 2 ) = $((1 2 3 4 5),(2 3 4 5 1 ))$
inoltre data la seguente notazione ciclica (1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) dovrei ragionare in questo modo :
1--->2--->4 il ciclo manda 1 in 4
2--->3--->5 il ciclo manda 5 in 2
come continuo ?
(1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) = $((1 2 3 4 5),(4 5 ? ? ? ))$
inoltre data la seguente notazione ciclica (1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) dovrei ragionare in questo modo :
1--->2--->4 il ciclo manda 1 in 4
2--->3--->5 il ciclo manda 5 in 2
come continuo ?
(1 2 3) (1 3 5 ) ( 2 4 ) = $((1 2 3 4 5),(4 5 ? ? ? ))$
Risposte
hai visto 1 dove va e 2 dove va...adesso devi proseguire con 3, 4,5
Non capisco la notazione "matriciale" di quelle permutazioni, visto che io non le ho mai trattate in questo modo.
Ad esempio, il primo prodotto di trasposizione a me viene (234)(1) = (234) e ora non so come si possano relazionare questo risultato a quello scritto più sopra...
Come ha detto Lorin è tutta una questione di "comporre", un pò come le funzioni, partendo da destra verso sinistra.
Prendi un primo elemento dal primo N-ciclo che trovi a destra e lo scrivi come primo elemento nel risultato che verrà:
esempio (234)(12) = (1 ...
Non so quanto verrà, ma arbitrariamente il risultato che otterrò lo posso fare iniziare sia da 1 sia da 2, basta che è un elemento di partenza (e questo metodo è più "ordinato" diciamo).
Fatto questo vedi dove va a finire quel numero: se sono diversi N-cicli con N variabile ad essere prodotti, in questo caso abbiamo un 3-ciclo e una trasposizione (2-ciclo) inizialmente devi vedere dove va a finire nel primo ciclo in cui l'hai considerato, ad esempio abbiamo considerato 1 che si trova nella trasposizione e questo va a finire in 2.
Ora passa all' N-ciclo immediatamente a sinistra dell'ultimo che hai considerato. Bene, se il numero a cui sei giunto prima va a finire in un altro numero, è quello il risultato "temporaneo" e se invece quel numero non è presente il risultato "temporaneo" rimane lo stesso di prima (nel nostro esempio 1 va in 2, ma poi 2 va in 3).
Il risultato che scriverai "definitivo" prima di passare al prossimo numero, sarà l'ultimo risultato "temporaneo" a cui sei giunto considerando l'ultimo N-ciclo più a sinistra.
Tornando a prima il secondo numero è 3 perchè 1 va in 2 che va in 3 quindi:
(234)(12) = (13...
Ora devi ricominciare a partire da destra dall'ultimo numero a cui sei giunto 3 e fare la stessa identica cosa...
Risolvendo: (234)(12) = (1342)
Come facevo a sapere che dovevo "chiudere" il 4-ciclo? Perchè l'ultimo numero finisce in un numero già considerato.
Inoltre se i numeri terminano, ovvero se hai da 1 a 5 e li usi tutti è finito. Se qualcheduno non viene utilizzato per niente o considerato vuol dire che erano permutazioni identiche del tipo (1), (2).... ecc.
Inoltre, se un numero qualsiasi va a finire, alla fine, come risultato definitivo in sè stesso vuol dire che è una permutazione 1-ciclo, ovvero la scrivi come (1) o (2), ecc. e sono trascurabili, perchè è come se non le permutassi...
Con tutto questo puoi svolgere quegli esercizi.
Ad esempio, il primo prodotto di trasposizione a me viene (234)(1) = (234) e ora non so come si possano relazionare questo risultato a quello scritto più sopra...
Come ha detto Lorin è tutta una questione di "comporre", un pò come le funzioni, partendo da destra verso sinistra.
Prendi un primo elemento dal primo N-ciclo che trovi a destra e lo scrivi come primo elemento nel risultato che verrà:
esempio (234)(12) = (1 ...
Non so quanto verrà, ma arbitrariamente il risultato che otterrò lo posso fare iniziare sia da 1 sia da 2, basta che è un elemento di partenza (e questo metodo è più "ordinato" diciamo).
Fatto questo vedi dove va a finire quel numero: se sono diversi N-cicli con N variabile ad essere prodotti, in questo caso abbiamo un 3-ciclo e una trasposizione (2-ciclo) inizialmente devi vedere dove va a finire nel primo ciclo in cui l'hai considerato, ad esempio abbiamo considerato 1 che si trova nella trasposizione e questo va a finire in 2.
Ora passa all' N-ciclo immediatamente a sinistra dell'ultimo che hai considerato. Bene, se il numero a cui sei giunto prima va a finire in un altro numero, è quello il risultato "temporaneo" e se invece quel numero non è presente il risultato "temporaneo" rimane lo stesso di prima (nel nostro esempio 1 va in 2, ma poi 2 va in 3).
Il risultato che scriverai "definitivo" prima di passare al prossimo numero, sarà l'ultimo risultato "temporaneo" a cui sei giunto considerando l'ultimo N-ciclo più a sinistra.
Tornando a prima il secondo numero è 3 perchè 1 va in 2 che va in 3 quindi:
(234)(12) = (13...
Ora devi ricominciare a partire da destra dall'ultimo numero a cui sei giunto 3 e fare la stessa identica cosa...
Risolvendo: (234)(12) = (1342)
Come facevo a sapere che dovevo "chiudere" il 4-ciclo? Perchè l'ultimo numero finisce in un numero già considerato.
Inoltre se i numeri terminano, ovvero se hai da 1 a 5 e li usi tutti è finito. Se qualcheduno non viene utilizzato per niente o considerato vuol dire che erano permutazioni identiche del tipo (1), (2).... ecc.
Inoltre, se un numero qualsiasi va a finire, alla fine, come risultato definitivo in sè stesso vuol dire che è una permutazione 1-ciclo, ovvero la scrivi come (1) o (2), ecc. e sono trascurabili, perchè è come se non le permutassi...
Con tutto questo puoi svolgere quegli esercizi.
Credo di avere ancora alcuni dubbi , posto alcuni esercizi
(1 2 3 ) (1 4 5 ) = (4 3 1 5 2 )
perché :
1--->4
4--->5
5--->1--->1--->2
2--->3
3--->1
(1 2 3 ) ( 1 4 7 6 ) (2 3 ) = (? 3 7 5 2 6 )
perché:
3--->2--->2--->3 4--->7 7--->6 6--->1--->1--->2
come determino in che modo l'1 sarà permutato? andando per esclusione si evince che 1--->4 però non penso che sia questo il modo di procedere ...
Un' altra permutazione :
(1 2 3 ) (1 3 5 ) (2 4 )
è quella che ho postato precedentemente ma non mi trovo con il risultato : dovrebbe essere ( 4 5 3 2 1 )
io ottengo : ( 1 4 5 3 2 )
2--->4 3--->5 5--->1--->1--->2 4--->2--->2--->3 1--->3--->3--->1
Un' ultima cosa :
questo ciclo : (1 5 ) (1 4 ) ( 1 3 ) ( 1 2) quali elementi permuta?
(1 2 3 ) (1 4 5 ) = (4 3 1 5 2 )
perché :
1--->4
4--->5
5--->1--->1--->2
2--->3
3--->1
(1 2 3 ) ( 1 4 7 6 ) (2 3 ) = (? 3 7 5 2 6 )
perché:
3--->2--->2--->3 4--->7 7--->6 6--->1--->1--->2
come determino in che modo l'1 sarà permutato? andando per esclusione si evince che 1--->4 però non penso che sia questo il modo di procedere ...
Un' altra permutazione :
(1 2 3 ) (1 3 5 ) (2 4 )
è quella che ho postato precedentemente ma non mi trovo con il risultato : dovrebbe essere ( 4 5 3 2 1 )
io ottengo : ( 1 4 5 3 2 )
2--->4 3--->5 5--->1--->1--->2 4--->2--->2--->3 1--->3--->3--->1
Un' ultima cosa :
questo ciclo : (1 5 ) (1 4 ) ( 1 3 ) ( 1 2) quali elementi permuta?
Nell'ultimo ciclo, il prodotto di trasposizioni, dovrebbe essere così:
L'1 va in 5 e il 5 va in 1 che lo manda in 4
Il 4 va in 1 che lo manda in 3
Il 3 va in 1 che lo manda in 2
Il 2 va in 1
quindi $23451$
L'1 va in 5 e il 5 va in 1 che lo manda in 4
Il 4 va in 1 che lo manda in 3
Il 3 va in 1 che lo manda in 2
Il 2 va in 1
quindi $23451$
Io ho svolto gli esercizi e posto i miei risultati, che sono differenti da quelli che ho visto, a parte per il prodotto di trasposizioni svolto poco sopra.
(123)(145) = (14523)
parto dall'1 : 1 -> 4 -> 4 sta fermo, scrivo (14 ...
4 -> 5 -> 5 sta fermo, scrivo (145
5 -> 1 -> 2, scrivo (1452
2 sta fermo poi va in 3, scrivo (14523
3 sta fermo, poi va in 1, scrivo (145231 ma questo è chiudere il ciclo quindi... (14523) è il risultato.
(123)(1476)(23) = (21476)
Parto dal 2 : 2 -> 3, 3 sta fermo, 3 -> 1, scrivo (21..
1 sta fermo, 1 va in 4, 4 sta fermo, scrivo (214...
4 sta fermo, 4 va in 7, 7 sta fermo, scrivo (2147
7 sta fermo, 7 va in 6, 6 sta fermo, scrivo (21476
6 sta fermo, 6 va in 1, 1 va in 2 e chiude il ciclo, concludo : (21476)
(123)(135)(24) = (2435)
Parto dal 2: 2 -> 4, 4 sta fermo, scrivo (24
4 -> 2, 2 sta fermo, 2 -> 3, scrivo (243
3 sta fermo, 3 -> 5, 5 sta fermo, scrivo (2435
5 sta fermo, 5 va in 1, 1 va in 2 e chiude il ciclo (2435)
Il ruolo dell'1 è quello di essere singolo, infatti, l'1 sta fermo alla prima permutazione, nella seconda va a finire in 3, ma il 3 nella terza ritorna in 1, quindi 1 -> 3 -> 1 ----> (1) quindi il risultato è (2435)(1) ovvero (2435)
(123)(145) = (14523)
parto dall'1 : 1 -> 4 -> 4 sta fermo, scrivo (14 ...
4 -> 5 -> 5 sta fermo, scrivo (145
5 -> 1 -> 2, scrivo (1452
2 sta fermo poi va in 3, scrivo (14523
3 sta fermo, poi va in 1, scrivo (145231 ma questo è chiudere il ciclo quindi... (14523) è il risultato.
(123)(1476)(23) = (21476)
Parto dal 2 : 2 -> 3, 3 sta fermo, 3 -> 1, scrivo (21..
1 sta fermo, 1 va in 4, 4 sta fermo, scrivo (214...
4 sta fermo, 4 va in 7, 7 sta fermo, scrivo (2147
7 sta fermo, 7 va in 6, 6 sta fermo, scrivo (21476
6 sta fermo, 6 va in 1, 1 va in 2 e chiude il ciclo, concludo : (21476)
(123)(135)(24) = (2435)
Parto dal 2: 2 -> 4, 4 sta fermo, scrivo (24
4 -> 2, 2 sta fermo, 2 -> 3, scrivo (243
3 sta fermo, 3 -> 5, 5 sta fermo, scrivo (2435
5 sta fermo, 5 va in 1, 1 va in 2 e chiude il ciclo (2435)
Il ruolo dell'1 è quello di essere singolo, infatti, l'1 sta fermo alla prima permutazione, nella seconda va a finire in 3, ma il 3 nella terza ritorna in 1, quindi 1 -> 3 -> 1 ----> (1) quindi il risultato è (2435)(1) ovvero (2435)
Personalmente non capisco i tuoi dubbi. Mi sembra che tu abbia capito come si moltiplicano i cicli.
Con chi cell'hai Vict?
Per quanto ne so, gli svolgimenti di "amicodelpinguino" sono sbagliati...
Per quanto ne so, gli svolgimenti di "amicodelpinguino" sono sbagliati...
scusa... effettivamente mi sembrava che tu sapessi farli 
@Simonixx
Non sono sbagliati. Ti faccio un esempio con il primo:
$(123)(145)=(14523)$ come dite entrambi giustamente. Ora però "amicodelpinguino" li ordina:
1-->4
2-->3
3-->1
4-->5
5-->2
E quindi si ottiene $(43152)$, che più correttamente andrebbe scritto $((12345),(43152))$
Non sono sbagliati. Ti faccio un esempio con il primo:
$(123)(145)=(14523)$ come dite entrambi giustamente. Ora però "amicodelpinguino" li ordina:
1-->4
2-->3
3-->1
4-->5
5-->2
E quindi si ottiene $(43152)$, che più correttamente andrebbe scritto $((12345),(43152))$
Così ha più senso, anche se la notazione più adatta è quella che utilizzavo io o quella matriciale... insomma, ad occhio è ambiguo scrivere la prima, proprio perchè è usata l'altra...
Buongiorno
Io ancora non riesco a capire come si riesca a calcolare questa cosa (123)(145)=(14523). Aiuto pls
Io ancora non riesco a capire come si riesca a calcolare questa cosa (123)(145)=(14523). Aiuto pls
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