Normalizzatore e centralizzatore nel simmetrico

[angus89]

Calcolare la cardinalità del normalizatore e del centralizzatore di un 19-ciclo in $S_19$ e in $A_19$

Sul centralizzatore in $S_19$ ci sono, ma non so come trovare il normalizzatore.
So che c'è una formula generale che discende dal teorema N/C (normalizzatore/centralizzante) ma non conosco per bene l'enunciato.
In generale non mi è chiaro qual'è l'orbita di un elemento su $A_n$

Mi spiego meglio, consideriamo l'azione di $S_n$ su $A_n$ per coniugio
ovvero $S_n$ agisce sugli elementi di $A_n$ coniugandoli, ovvero l'orbita di un elemento sarebbe così descritta
[tex]$ O( \sigma )= (\tau^1 \sigma \tau | \tau \in S_n)$[/tex] dove [tex]\sigma \in A_n[/tex] è fissato

Ecco non sono in grado di determinare quanto è grande e chi c'è dentro...
Spero che qualcuno possa aiutarmi...

[alvinlee881]

Qualche traccia veloce:
Prendi $H$ il sottogruppo generato da $\sigma$ un $l$ ciclo in $S_n$, il normalizzatore è $N(H)=N(\sigma)$.
Dimostra che $N(H)//Z(H) \~= Aut(H)$ (il punto fondamentale è la surgettività -con $Z(H)$ indico il centralizzatore) da cui ottieni la cardinalità del normalizzatore, sono $l\cdot(n-l)!\cdot\phi(l)$ elementi
Infine dimostra che $N(H)$ è l'unione disgiunta di classi laterali $\tau_a Z(H)$, $a \in ZZ//lZZ^{\times}$, con i $\tau_a$ opportuni rappresentanti.
Per quanto riguarda la questione di $A_n$, $Z(H)$ in $A_n$ è semplicemente $Z(H) \cap A_n$, e c'è una formula per la cardinalità dell'intersezione, devi solo distingure i casi $Z(H)\subset A_n$ e $Z(H)A_n=S_n$. Lo stesso con $N(H)$.