Normalizzanti di sottogruppi

[luca691]

Ciao,

sia $G$ un gruppo finito e siano $A,B \le G$ tali che $AB=BA$ (per cui è anche $AB \le G$). Indicando con $N(X)$ il normalizzante di $X$ in $G$, salvo errori ho dimostrato che $N(A) \nn N(B) \le N(AB)$. Si può dire qualcosa sui rapporti di inclusione tra $N(A)$ e $N(AB)$?

Grazie

[Studente Anonimo]

Ciao,

quello che stai chiedendo è questo (te ne accorgi se chiami $H=A$, $K=AB$): se $H le K$ sono sottogruppi di $G$ vale qualcuna delle inclusioni $N_G(H) le N_G(K)$, $N_G(K) le N_G(H)$? In generale no, nessuna delle due. Per esempio se $H$ è uguale a ${1}$ ovviamente $N_G(H)=G$ in generale non è contenuto in $N_G(K)$ (se $K$ non è normale in $G$) e se $K$ è uguale a $G$ ovviamente $N_G(K)=G$ in generale non è contenuto in $N_G(H)$ (se $H$ non è normale in $G$).

[luca691]

E se $H \ne {1}$, $H⊴Kordini $|N_G(H)|$ e $|N_G(K)|$?

[Studente Anonimo]

Se H è normale in K allora il normalizzante di H contiene K (per definizione di normalizzante).

[luca691]

Quindi in nessun caso è possibile stabilire una unica sequenza di diseguaglianze che comprenda H, K, il normalizzate di H e il normalizzante di K, giusto?

[Studente Anonimo]

Giusto. Ma stai affrontando un problema particolare? Se sì quale?

[luca691]

Sì. Proverò a esporlo con un altro post che ho in bozza. Intanto ti ringrazio molto.