Normalizzante del gruppo simplettico

[Cantor99]

Salve, dovrei calcolare $N_{\text{GL}(2n,RR)}(\text{Sp}(n,RR))$ essendo [tex]\text{Sp}(n,\mathbb{R})=\{A\in \text{SL}(2n,\mathbb{R}): A^TJA=J\}[/tex] e $J$ la matrice simplettica standard.

Posto per semplicità $G=\text{GL}(2n,RR)$, $S=\text{Sp}(n,\RR)$ ho usato l'identità di Dedekind per dedurre:
\[
N_G(S)=N_G(S)\cap G=N_G(S)\cap (R^\ast I_{2n})\text{SL}(2n,R)=(R^\ast I_{2n})(N_G(S)\cap \text{SL}(2n,R))
\]
Ora sospetto che $N_G(S)\cap \text{SL}(2n,RR)=S$. Per provarlo vorrei sfruttare il fatto che le trasvezioni generano $\text{SL}(2n,RR)$ mentre le trasvezioni simplettiche generano $S$. Qui ho molta difficoltà a continuare.

Mi sapreste dare una mano? O indicare un'altra strada.

Grazie in anticipo

[Stickelberger]

Forse e' utile questo: https://web.math.pmf.unizg.hr/glasnik/46.2/46(2)-10.pdf

[Cantor99]

Grazie per l'articolo, lo leggerò. Ero riuscito da solo e non ho più aggiornato il post né più controllato se mi fossero giunte risposte. Già che mi trovo posto la mia soluzione.

Se $X$ è una matrice che normalizza $\text{Sp}(n,R)$ allora $XSX^{-1}$ è una matrice simplettica per ogni $S\in \text{Sp}(n,R)$, dunque $X^TJX=S^T(X^TJX)S$. Ponendo $S=J$ ottengo che:
\[
X^TJX=\begin{pmatrix}
A & B\\ -B & A
\end{pmatrix}
\]
per opportune matrici $A,B\in \RR^{n\times n}$. Poi per ogni $L\in \text{GL}(n,R)$ la matrice:
\[
M_L=\begin{pmatrix}
L^{-1} & 0 \\ 0 & L^T
\end{pmatrix}
\]
è una matrice simplettica e ponendo $S=M_L$ ottengo:
\[
\begin{cases}
LAL^T=A\\
LBL^{-1}=B
\end{cases}
\]
Poiché queste relazioni devono valere per ogni $L\in \text{GL}(n,R)$ ne ho dedotto che $A=0$ e $B=\lambda I_n$ per qualche $\lambda \ne 0$. In definitva esiste $\lambda\in \RR$ tale che $X^TJX=\lambda J$ e $X$ è una matrice del gruppo:
\[
\text{GSp}(n,R)=\{X\in \text{GL}(2n,RR): \exists \lambda \in R \quad X^TJX=\lambda J\}.
\]
Poiché poi $\text{Sp}(n,R)$ è un sottogruppo normale di $\text{GSp}(n,R)$, ho concluso che $N_{\text{GL(2n,R)}}(\text{Sp}(n,R))=\text{GSp}(n,R)$.