Normalità dei sottogruppi di Sylow

[sely1]

Ciao a tutti!
Ho provato a risolvere un esercizio di algebra dove si chiede di dimostrare che un gruppo di ordine 30 non è semplice. La soluzione proposta dal mio professore suggerisce di studiare i p-sottogruppi di Sylow. Arriviamo alla conclusione che deve per forza essere N5=1 o N3=1 ovvero che esiste o un solo p-sottogruppo di Sylow di ordine 3 o un solo p-sottogruppo di Sylow di ordine 5 o un p-sottogruppo di Sylow di ordine 3 e un p-sottogruppo di ordine 5. Fino a qui tutto chiaro, non mi è però chiaro perchè questa condizione garantisca la non semplicità di G!
Deduco che: se esiste un solo p-sottogruppo di Sylow di ordine p, allora questo è normale al gruppo G. Ma non ho trovato nessun teorema a riguardo nè sul libro nè negli appunti...riuscite a darmi una conferma o a dare l'aternativa giusta?
Aspetto le vostre risposte!
Grazie in anticipo!
Selina

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Prova a vederla così: un coniugato di un $p$-Sylow è ancora un $p$-Sylow...