Nocciolo di H in G (Omomorfismi di gruppi)
Buongiorno! Chi può aiutarmi a capire la seguente proposizione?
Siano $G$ un gruppo e $H$ un sottogruppo di $G$ di indice finito $n$. Denotiamo con $L$ l'insieme dei laterali destri di $H$ in $G$. Se $g$ $in$ $G$ e $Hx$, $Hy$ $in$ $L$, allora
$Hx=Hy$ $iff$ $xy^-1$ $in$ $H$ $iff$ $(xg)(yg)^-1$ $in$ $H$ $iff$ $Hxg=Hyg$.
Ciò comporta che è ben posta e ineittiva la seguente applicazione:
$f_g : Hx in L$ $rarr$ $Hxg in L$.
Inoltre, se $Hy in L$, allora $f_g$$(H(yg^-1))=Hy$, e quindi $f_g in S_L$.
Siano $g_1, g_2 in G$ e $Hx in L$. Allora $f(g_1g_2)(Hx)$ $=$ $f_(g_1g_2)$$(Hx)$ $=$ $Hx$$(g_1g_2)$ $=$ $f_(g_2)$ $(f_(g_1)(Hx))$ $=$ $f(g_1)f(g_2)$.Dunque, $f$ è un omomorfismo di gruppi. Determiniamo $kerf$. Risulta
$Kerf$ $in$ ${g in G | f_(g) = ι_L}$ $=$ ${g in G | Hxg = Hx, x in G}$ $=$ ${g in G | g in x^-1Hx, x in G}$ $=$ $nnn_{x in G} x^-1Hx$.
Poniamo $H_G$ $=$ $nnn_{x in G} x^-1Hx$. Tale sottogruppo (normale) di $G$ è ovviamente contenuto in $H$ ed è il massimo sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$. Esso si dice "nocciolo" di $H$ in $G$.
Qualcuno potrebbe spiegarmi tale proposizione in parole più semplici?
Siano $G$ un gruppo e $H$ un sottogruppo di $G$ di indice finito $n$. Denotiamo con $L$ l'insieme dei laterali destri di $H$ in $G$. Se $g$ $in$ $G$ e $Hx$, $Hy$ $in$ $L$, allora
$Hx=Hy$ $iff$ $xy^-1$ $in$ $H$ $iff$ $(xg)(yg)^-1$ $in$ $H$ $iff$ $Hxg=Hyg$.
Ciò comporta che è ben posta e ineittiva la seguente applicazione:
$f_g : Hx in L$ $rarr$ $Hxg in L$.
Inoltre, se $Hy in L$, allora $f_g$$(H(yg^-1))=Hy$, e quindi $f_g in S_L$.
Siano $g_1, g_2 in G$ e $Hx in L$. Allora $f(g_1g_2)(Hx)$ $=$ $f_(g_1g_2)$$(Hx)$ $=$ $Hx$$(g_1g_2)$ $=$ $f_(g_2)$ $(f_(g_1)(Hx))$ $=$ $f(g_1)f(g_2)$.Dunque, $f$ è un omomorfismo di gruppi. Determiniamo $kerf$. Risulta
$Kerf$ $in$ ${g in G | f_(g) = ι_L}$ $=$ ${g in G | Hxg = Hx, x in G}$ $=$ ${g in G | g in x^-1Hx, x in G}$ $=$ $nnn_{x in G} x^-1Hx$.
Poniamo $H_G$ $=$ $nnn_{x in G} x^-1Hx$. Tale sottogruppo (normale) di $G$ è ovviamente contenuto in $H$ ed è il massimo sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$. Esso si dice "nocciolo" di $H$ in $G$.
Qualcuno potrebbe spiegarmi tale proposizione in parole più semplici?
Risposte
Ciao.
Conosci le azioni di gruppi? Quello che proponi è un esempio notevole di azione di un gruppo; in pratica, dati un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$ hai che $G$ agisce transitivamente (c'è una sola orbita) sull'insieme dei laterali destri di $H$. L'azione è quella che uno si aspetta, cioè è la moltiplicazione a destra.
Il nucleo di quest'azione (l'intersezione degli stabilizzatori) è il nocciolo, detto anche cuore normale, ed è appunto il massimo sottogruppo normale di $G$ contenuto dentro $H$, nel senso che ogni sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$ sta dentro al cuore normale. Se l'azione è anche fedele (nucleo banale) penso si possa dedurre, al solito modo, il teorema di Cayley.
Infine, per quello che so io, è un concetto abbastanza importante in teoria di Galois (se ricordo bene, il cuore normale corrisponde alla chiusura normale dei campi intermedi: però dovrei controllare).
Detto questo, c'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro? Come possiamo aiutarti? Le hai fatte le azioni? Che cosa studi?
Conosci le azioni di gruppi? Quello che proponi è un esempio notevole di azione di un gruppo; in pratica, dati un gruppo $G$ e un suo sottogruppo $H$ hai che $G$ agisce transitivamente (c'è una sola orbita) sull'insieme dei laterali destri di $H$. L'azione è quella che uno si aspetta, cioè è la moltiplicazione a destra.
Il nucleo di quest'azione (l'intersezione degli stabilizzatori) è il nocciolo, detto anche cuore normale, ed è appunto il massimo sottogruppo normale di $G$ contenuto dentro $H$, nel senso che ogni sottogruppo normale di $G$ contenuto in $H$ sta dentro al cuore normale. Se l'azione è anche fedele (nucleo banale) penso si possa dedurre, al solito modo, il teorema di Cayley.
Infine, per quello che so io, è un concetto abbastanza importante in teoria di Galois (se ricordo bene, il cuore normale corrisponde alla chiusura normale dei campi intermedi: però dovrei controllare).
Detto questo, c'è qualcosa in particolare che non ti è chiaro? Come possiamo aiutarti? Le hai fatte le azioni? Che cosa studi?
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