Nocciolo con indice finito

[maybe1]

Salve , il mio professore nel dimostrare che << se un sottogruppo, H, ha indice finito allora anche il suo nocciolo, $H_G$, ha indice finito>> sfrutta il fatto che se H ha indice finito allora anche i coniugati di H hanno indice finito (perché?) . Infine conclude dicendo che essendo il nocciolo intersezione dei coniugati di H , i quali sono in numero finito e hanno indice finito , allora anche lui ha indice finito (perché?) .
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi.

[j18eos]

Se non mi sbaglio \(\displaystyle H\) e i suoi coniugati hanno lo stesso indice in \(\displaystyle G\); dovresti studiare le applicazioni:
\[
g\in G,\,\gamma_g:[h]\in G_{\displaystyle/H}\to\left[ghg^{-1}\right]\in G_{\displaystyle/gHg^{-1}}
\]

[Pappappero1]

Sia $G$ è un gruppo, $H,K$ due sottogruppi di indice finito. Allora $H \cap K$ ha indice finito. Per dimostrarlo basta notare che esiste un'immersione naturale di ${G} / {(H \cap K)}$ in $G/H \times G/K$.

Inoltre se $H,K$ sono coniugati, hanno evidentemente lo stesso indice, in quanto il coniugio fornisce una biiezione tra i laterali di $H$ e quelli di $K$.

Siccome $1+1$ fa $2$, si deduce che il core di un gruppo di indice finito ha indice finito.