N(n+1)(2n+1)/6
mi aiutereste a dimostrarlo partendo da 0 (una dimostrazione costruttiva)
thx mille
thx mille
Risposte
[mod="Fioravante Patrone"]La prossima volta ti sforzi a scrivere una domanda che abbia senso, ok?
Altrimenti un post simile lo chiudo subito.[/mod]
Altrimenti un post simile lo chiudo subito.[/mod]
"Zhan":
mi aiutereste a dimostrarlo partendo da 0 (una dimostrazione costruttiva)
thx mille
volevo dire che n(n+1)(2n+1)/6= alla somma dei quadrati da 1 ad n
Avrai notato che sul forum usiamo un utility (MathML) per visualizzare le formule. Il messaggio da te scritto diventa:
Per imparare a usare MathML basta guardare qui.
Per quanto riguarda il quesito, induzione è la parola magica...
La base dell'induzione è vera e basta verificare il passo induttivo; per farlo, occorre svolgere due calcoli che non mi sembrano affatto proibitivi.
Su su, un po' di buona volontà.
"Zhan":
volevo dire che $(n(n+1)(2n+1))/6= \sum_(k=1)^n k^2
Per imparare a usare MathML basta guardare qui.
Per quanto riguarda il quesito, induzione è la parola magica...
La base dell'induzione è vera e basta verificare il passo induttivo; per farlo, occorre svolgere due calcoli che non mi sembrano affatto proibitivi.
Su su, un po' di buona volontà.
"Gugo82":
Avrai notato che sul forum usiamo un utility (MathML) per visualizzare le formule. Il messaggio da te scritto diventa:
[quote="Zhan"]volevo dire che $(n(n+1)(2n+1))/6= \sum_(k=1)^n k^2
Per imparare a usare MathML basta guardare qui.
Per quanto riguarda il quesito, induzione è la parola magica...
La base dell'induzione è vera e basta verificare il passo induttivo; per farlo, occorre svolgere due calcoli che non mi sembrano affatto proibitivi.
Su su, un po' di buona volontà.[/quote]
per il procedimento di induzione devi avere gia la formula, e' questo il punto
"Zhan":
per il procedimento di induzione devi avere gia la formula, e' questo il punto
Mi pare che quando (su sollecitazione) hai scritto :
"Zhan":
volevo dire che n(n+1)(2n+1)/6= alla somma dei quadrati da 1 ad n
una formula ce l'avevi. O no?
E comunque Gugo82 la formula te l'ha mostrata, leggi bene il suo messaggio
Bene! a questo punto mi domando: qual è l'idea intuitiva alla base della formula?
Ne avevo una intuitiva (che è difatto quella che mi permette di ricordare la formula) per la somma dei primi $n$ naturali, ma come si aggiorna alla questione dei quadrati?
Ne avevo una intuitiva (che è difatto quella che mi permette di ricordare la formula) per la somma dei primi $n$ naturali, ma come si aggiorna alla questione dei quadrati?
[mod="Steven"]Direi che sta meglio in Algebra e Tdn[/mod]
Suppongo che Zahn volesse un procedimento costruttivo, che l'induzione non ti dà.
Cioè arrivare alla formula dal nulla.
Dimostriamo quindi che vale
$((k-1)*k*(2k-1))/6= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$
Scriviamo le seguenti identità che possono essere verificate banalmente con qualche conto.
$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$
$(k-1)^3-(k-2)^3=3k^2-9k+7$
$...$
$(k-n)^3-(k-n-1)^3=3k^2+3n^2-6kn-3k+3n+1$ (termine generale al posto n-esimo)
$...$
$[k-(k-1)]^3-(k-k)^3=3k^2+3(k-1)^2-6k(k-1)-3k+3(k-1)+1$ (cioè 1).
Ora sommo tutto quanto: è ovvio che al primo membro mi ritrovo solo $k^3$ perchè mano mano i cubi tra parentesi se ne vanno con l'opposto che sta di sotto (come (k-1)^3 della prima e la seconda riga).
Dopo la somma, ho
$k^3=3k^3+ \sum_(n=1)^(k-1) n^2+(3-6k)\sum_(n=0)^(k-1) n+k(1-3k)$
Sapendo che $sum_(n=0)^(k-1) n=frac{(k-1)*k}{2}$ e ponendo per comodità $x= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$ ottengo
$k^3=3k^3+3x+3(1-2k)\frac{k(k-1)}{2}+k(1-3k)$
Risolvendo questa equazione in $x$, verrà proprio
$x=\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$
ciò che si voleva mostrare.
Disponibile per eventulai dubbi.
A presto.
Suppongo che Zahn volesse un procedimento costruttivo, che l'induzione non ti dà.
Cioè arrivare alla formula dal nulla.
Dimostriamo quindi che vale
$((k-1)*k*(2k-1))/6= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$
Scriviamo le seguenti identità che possono essere verificate banalmente con qualche conto.
$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$
$(k-1)^3-(k-2)^3=3k^2-9k+7$
$...$
$(k-n)^3-(k-n-1)^3=3k^2+3n^2-6kn-3k+3n+1$ (termine generale al posto n-esimo)
$...$
$[k-(k-1)]^3-(k-k)^3=3k^2+3(k-1)^2-6k(k-1)-3k+3(k-1)+1$ (cioè 1).
Ora sommo tutto quanto: è ovvio che al primo membro mi ritrovo solo $k^3$ perchè mano mano i cubi tra parentesi se ne vanno con l'opposto che sta di sotto (come (k-1)^3 della prima e la seconda riga).
Dopo la somma, ho
$k^3=3k^3+ \sum_(n=1)^(k-1) n^2+(3-6k)\sum_(n=0)^(k-1) n+k(1-3k)$
Sapendo che $sum_(n=0)^(k-1) n=frac{(k-1)*k}{2}$ e ponendo per comodità $x= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$ ottengo
$k^3=3k^3+3x+3(1-2k)\frac{k(k-1)}{2}+k(1-3k)$
Risolvendo questa equazione in $x$, verrà proprio
$x=\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$
ciò che si voleva mostrare.
Disponibile per eventulai dubbi.
A presto.
osservazioni di carattere generale per Zahn
1) fai vedere che l'enunciato è vero per n=1
2) dimostra che se vale per un certo n, allora è vero anche per n+1.
1) fai vedere che l'enunciato è vero per n=1
2) dimostra che se vale per un certo n, allora è vero anche per n+1.
"Gaal Dornick":
Bene! a questo punto mi domando: qual è l'idea intuitiva alla base della formula?
Ne avevo una intuitiva (che è difatto quella che mi permette di ricordare la formula) per la somma dei primi $n$ naturali, ma come si aggiorna alla questione dei quadrati?
Per la verita' non ho mai visto un'idea intuitiva per le formule su $S(k,n)=\sum_{i=1}^ni^k$ quando $k$ e' diverso da uno.
Il modo con cui io mi "spiego" tali formule e' che si "intuisce" (????) che $S(k,n)$ e' un polinomio di grado $k+1$ in $n$ --
a questo punto se scrivo un polinomio generico $P(n)$ di grado $k+1$ (di grado tre nel caso della somma dei quadrati) e impongo che
$P(0)=0$ e $P(n+1)=P(n)+(n+1)^k$ trovo un sistema sui $k+2$ coefficienti di $P$ che viene risolubile (credo che questo si possa dimostrare con un po' di pazienza usando
l'induzione).
So anche che c'e' una formula ricorsiva che permette di trovare $S(k+1,n)$ a partire da $S(k,n)$ (e' stata citata piu' volte in questo forum)
"ViciousGoblin":
Il modo con cui io mi "spiego" tali formule e' che si "intuisce" (????) che $S(k,n)$ e' un polinomio di grado $k+1$ in $n$ --
Sono d'accordo. Io, più che "intuire" spero che ci sia una formula di tipo polinomiale e provo a vedere se funge con un grado in più: il grado in più viene da analogia + spannometria.
Magari, da praticone impenitente ci metto coefficienti generici e vedo come devono essere imponendo che la formula valga per i primi tot numeri naturali.
Poi incrocio le dita...
"Steven":
Suppongo che Zahn volesse un procedimento costruttivo, che l'induzione non ti dà.
Cioè arrivare alla formula dal nulla.
Dimostriamo quindi che vale
$((k-1)*k*(2k-1))/6= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$
Scriviamo le seguenti identità che possono essere verificate banalmente con qualche conto.
$k^3-(k-1)^3=3k^2-3k+1$
$(k-1)^3-(k-2)^3=3k^2-9k+7$
$...$
$(k-n)^3-(k-n-1)^3=3k^2+3n^2-6kn-3k+3n+1$ (termine generale al posto n-esimo)
$...$
$[k-(k-1)]^3-(k-k)^3=3k^2+3(k-1)^2-6k(k-1)-3k+3(k-1)+1$ (cioè 1).
Ora sommo tutto quanto: è ovvio che al primo membro mi ritrovo solo $k^3$ perchè mano mano i cubi tra parentesi se ne vanno con l'opposto che sta di sotto (come (k-1)^3 della prima e la seconda riga).
Dopo la somma, ho
$k^3=3k^3+ \sum_(n=1)^(k-1) n^2+(3-6k)\sum_(n=0)^(k-1) n+k(1-3k)$
Sapendo che $sum_(n=0)^(k-1) n=frac{(k-1)*k}{2}$ e ponendo per comodità $x= \sum_(n=1)^(k-1) n^2$ ottengo
$k^3=3k^3+3x+3(1-2k)\frac{k(k-1)}{2}+k(1-3k)$
Risolvendo questa equazione in $x$, verrà proprio
$x=\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$
ciò che si voleva mostrare.
Disponibile per eventulai dubbi.
A presto.
non ho capito come lo hai ricavato
Caro mio, se focalizzi il tuo dubbio posso vedere quel che posso fare.
Qui nessuno viene pagato per scrivere le cose: cerca di non abusare della pazienza degli utenti.
Qui nessuno viene pagato per scrivere le cose: cerca di non abusare della pazienza degli utenti.
"Steven":
Caro mio, se focalizzi il tuo dubbio posso vedere quel che posso fare.
Qui nessuno viene pagato per scrivere le cose: cerca di non abusare della pazienza degli utenti.
scusa hai perfettamente ragione, non ho capito come hai ricavato
$3x^3$+$\sum_{n=1}^(k-1) n^2$
Il $3k^3$ deriva da fatto che sommando tutto, sommi per $k$ volte il termine $3k^2$, quindi fai
$3k^2+3k^2+...+3k^2$ k volte, cioè $3k^2*k$
La sommatoria è il modo compatto per indicare che sommi tutti i termini di quel tipo:
$1^2+2^2+3^2+...+(k-1)^2$
Ogni secondo membro delle equazioni ha uno di questi addendi.
$3k^2+3k^2+...+3k^2$ k volte, cioè $3k^2*k$
La sommatoria è il modo compatto per indicare che sommi tutti i termini di quel tipo:
$1^2+2^2+3^2+...+(k-1)^2$
Ogni secondo membro delle equazioni ha uno di questi addendi.
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