Nilpotenza delle matrici la cui traccia è 0
Dimostra che \( \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è nilpotente se \( \operatorname{char}(\mathbb{F}) = 2 \).
Io ho semplicemente fatto in modo diretto trovando che \[ C^3 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) = \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0 \\
0& 0
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix} \]
mi chiedevo se ci fosse un modo che non prevedesse calcoli
Io ho semplicemente fatto in modo diretto trovando che \[ C^3 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) = \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0 \\
0& 0
\end{pmatrix}
\end{Bmatrix} \]
mi chiedevo se ci fosse un modo che non prevedesse calcoli
Risposte
Let$$H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\ X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\text{, and }Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.$$Then $(H,X,Y)$ is a basis of $\mathfrak{sl}(2,k)$.
Se la caratteristica di $k$ è 2, però, \(H=\mathbb{I}_2\) è la matrice identica perché 1 = -1, e allora
$[H,X]=0$, $[H,Y]=0$, and $[X,Y]=H$. Questo significa che \(C^1\mathfrak{sl}(2,k)\) è fatta dalle matrici scalari; questo conclude che \(C^2=0\).
Se la caratteristica di $k$ è 2, però, \(H=\mathbb{I}_2\) è la matrice identica perché 1 = -1, e allora
$[H,X]=0$, $[H,Y]=0$, and $[X,Y]=H$. Questo significa che \(C^1\mathfrak{sl}(2,k)\) è fatta dalle matrici scalari; questo conclude che \(C^2=0\).
Solo una piccola cosa noi facciamo partire la serie centrale discendente da uno: \( C^1 L = L \) e \( C^{k+1} L = [C^k L, L] \) e non da zero. Mentre la serie derivata da zero. \( D^0 L = L \) e \( D^{k+1} = [ D^k L, D^k L ] \) cosìcché molti teoremi sono più "facili da enunciare" ad esempio
\( \forall n \) abbiamo \( D^n L \subset C^{2^n} L \), etc. Ma è solo una scelta. Presumo tu lo faccia partire da 0, perché ti ritrovi con \(C^2 = 0\) io con \(C^3 = 0 \).
Detto ciò:
Quindi se devo dimostrare che \( \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) non è risolubile (solvable) se \(\operatorname{char}( \mathbb{F}) \neq 2 \). Posso procedere così
Prendo la tua medesima base di \( D^0 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) =\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \). Abbiamo che una base di \( D^1 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è dato \( [H,X]=2X \), \( [Y,H] = 2Y \) e \( [X,Y] = H \).
Mentre una base di
\( D^2 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [H,2X]=4X \), \( [2Y,H] = 4Y \) e \( [2X,2Y] = 4H \).
Una base di
\( D^3 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [4H,4X]=2^{5} X \), \( [4Y,4 H] = 2^5Y \) e \( [4X,4Y] = 2^4 H \).
Una base di
\( D^4 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [2^4 H,2^5X]=2^{10} X \), \( [2^5 Y,2^4 H] = 2^{10} Y \) e \( [2^5X,2^5 Y] = 2^{10} H \).
etc... è evidente che gli esponenti crescono (anche se non trovo un pattern l'unica cosa che riesco a dire è che se \( D^k \) con \(k\) è pari allora hanno tutti lo stesso esponente, mentre se \(D^k \) con \(k\) dispari allora la \(X\) e la \(Y \) hanno esponente +1 rispetto a quello di \(H\)), e dunque siccome la caratteristica di un campo è un numero primo oppure 0, e l'abbiamo supposta diversa da 2, allora nessuna di quelle matrici è uguale alla matrice nulla ed è dunque sempre possibile trovare una matrice diversa da zero in qualunque \( D^k \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \).
\( \forall n \) abbiamo \( D^n L \subset C^{2^n} L \), etc. Ma è solo una scelta. Presumo tu lo faccia partire da 0, perché ti ritrovi con \(C^2 = 0\) io con \(C^3 = 0 \).
Detto ciò:
Quindi se devo dimostrare che \( \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) non è risolubile (solvable) se \(\operatorname{char}( \mathbb{F}) \neq 2 \). Posso procedere così
Prendo la tua medesima base di \( D^0 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) =\mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \). Abbiamo che una base di \( D^1 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è dato \( [H,X]=2X \), \( [Y,H] = 2Y \) e \( [X,Y] = H \).
Mentre una base di
\( D^2 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [H,2X]=4X \), \( [2Y,H] = 4Y \) e \( [2X,2Y] = 4H \).
Una base di
\( D^3 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [4H,4X]=2^{5} X \), \( [4Y,4 H] = 2^5Y \) e \( [4X,4Y] = 2^4 H \).
Una base di
\( D^4 \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \) è data da è dato \( [2^4 H,2^5X]=2^{10} X \), \( [2^5 Y,2^4 H] = 2^{10} Y \) e \( [2^5X,2^5 Y] = 2^{10} H \).
etc... è evidente che gli esponenti crescono (anche se non trovo un pattern l'unica cosa che riesco a dire è che se \( D^k \) con \(k\) è pari allora hanno tutti lo stesso esponente, mentre se \(D^k \) con \(k\) dispari allora la \(X\) e la \(Y \) hanno esponente +1 rispetto a quello di \(H\)), e dunque siccome la caratteristica di un campo è un numero primo oppure 0, e l'abbiamo supposta diversa da 2, allora nessuna di quelle matrici è uguale alla matrice nulla ed è dunque sempre possibile trovare una matrice diversa da zero in qualunque \( D^k \mathfrak{sl}_2(\mathbb{F}) \).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo