$n^13$? No, grazie... AIUTO!
“Il numero $21982145917308330487013369$ è la tredicesima potenza di un intero positivo $n$. Si trovi il valore di tale $n$ positivo.”
Aiuto! Mi aiutate, per favore? Mi sento sempre più incapace in TdN...
Vi propongo i miei tentativi: so che $n^13=n mod13$ (Fermat). E’ poi evidente che il numero è dispari (quindi anche il mio $n$ sarà dispari). Ma adesso? Avete qualche idea, per favore? Potreste spiegarmi il procedimento? Confido nella voistra infinità disponibilità...
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto. Scusate il disturbo.
Grazie ancora,
Paolo
Aiuto! Mi aiutate, per favore? Mi sento sempre più incapace in TdN...
Vi propongo i miei tentativi: so che $n^13=n mod13$ (Fermat). E’ poi evidente che il numero è dispari (quindi anche il mio $n$ sarà dispari). Ma adesso? Avete qualche idea, per favore? Potreste spiegarmi il procedimento? Confido nella voistra infinità disponibilità...
Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto. Scusate il disturbo.
Grazie ancora,
Paolo
Risposte
O forse non si poteva usare la calcolatrice....
Ho usato Fermat e contemporaneamente ho ripassato la tabellina del 13 e le divisioni in colonna 
$n^13\equivn(mod13)$
Ciò significa che dividendo quel numeraccio per $13$ ottengo un certo resto, che è proprio $n$, il numero cercato.
Non disponendo di una calcolatrice, possiamo comunque fare il calcolo perchè l'algoritmo della divisione è noto.
Incolonnando, perdo 5-10 minuti sulla divisione e ottengo un certo quoziente che non ci interessa, e resto $89$, da cui $n=89$
Aspetto comunque metodi più eleganti e un po' meno elementari
$n^13\equivn(mod13)$
Ciò significa che dividendo quel numeraccio per $13$ ottengo un certo resto, che è proprio $n$, il numero cercato.
Non disponendo di una calcolatrice, possiamo comunque fare il calcolo perchè l'algoritmo della divisione è noto.
Incolonnando, perdo 5-10 minuti sulla divisione e ottengo un certo quoziente che non ci interessa, e resto $89$, da cui $n=89$
Aspetto comunque metodi più eleganti e un po' meno elementari
"Steven":Se divido un numero per $13$ il resto che ottengo è minore di $13$... non è possibile ottenere come resto $89$ in una divisione per $13$...
Ciò significa che dividendo quel numeraccio per $13$ ottengo un certo resto, che è proprio $n$, il numero cercato.
[...]
Incolonnando, perdo 5-10 minuti sulla divisione e ottengo un certo quoziente che non ci interessa, e resto $89$, da cui $n=89$
Comunque, seguendo il consiglio di Steven:
$21982145917308330487013369\equiv 11 (mod 13)$
Poichè il numeraccio è $<10^26$, ho che $n<100$.
Così le possibilità si riducono a
$11,24,37,50,63,76,89$.
Tolgo quelli pari perchè il numeraccio è dispari:
$11,37,63,89$.
Il numeraccio non è divisibile per $3$; utilizzando il criterio di divisibilità per $3$:
$21982145917308330487013369\equiv 21821451784871 \equiv 847847(mod 3)\equiv 77 \equiv 2 (mod 3)$
così posso escludere 63.
Il numeraccio non è divisibile per $11$:
$21982145917308330487013369\equiv 21982145917308330487013-369 =$
$=21982145917308330486644 \equiv 21982145917308330486-644=21982145917308329842 \equiv 21982145917308329-842 = 21982145917307487 \equiv ... \equiv 1 (mod 11)$
escludo 11:
Il numeraccio non è divisibile per $37$:
$21982145917308330487013369\equiv 2198214591730833048691 \equiv 219821459173083304858 \equiv 21982145917308330471 \equiv ... \equiv 20 (mod 37)$
escludo 37:
Se il numeraccio è potenza 13esima di qualcosa, allora è potenza 13esima di 89.
$21982145917308330487013369\equiv 11 (mod 13)$
Poichè il numeraccio è $<10^26$, ho che $n<100$.
Così le possibilità si riducono a
$11,24,37,50,63,76,89$.
Tolgo quelli pari perchè il numeraccio è dispari:
$11,37,63,89$.
Il numeraccio non è divisibile per $3$; utilizzando il criterio di divisibilità per $3$:
$21982145917308330487013369\equiv 21821451784871 \equiv 847847(mod 3)\equiv 77 \equiv 2 (mod 3)$
così posso escludere 63.
Il numeraccio non è divisibile per $11$:
$21982145917308330487013369\equiv 21982145917308330487013-369 =$
$=21982145917308330486644 \equiv 21982145917308330486-644=21982145917308329842 \equiv 21982145917308329-842 = 21982145917307487 \equiv ... \equiv 1 (mod 11)$
escludo 11:
Il numeraccio non è divisibile per $37$:
$21982145917308330487013369\equiv 2198214591730833048691 \equiv 219821459173083304858 \equiv 21982145917308330471 \equiv ... \equiv 20 (mod 37)$
escludo 37:
Se il numeraccio è potenza 13esima di qualcosa, allora è potenza 13esima di 89.
"alvinlee88":
O forse non si poteva usare la calcolatrice....
Già, il problema, carissimo Sergio, era proprio questo... Probito l'uso di calcolatrici/calcolatori... In effetti, sapevo che il numero da trovare era $89$ (è bastato aprire Derive e digitare il $\mbox{numeraccio}^(1/13)$...
)Il problema era capire come ci si poteva arrivare mediante l'aritmetica modulare e la TdN in generale... Anche io avevo provato a dividere come ha fatto il buon Steven ma non ho avuto la sua pazienza (e, ad un certo punto, mi sono reso conto che non potevo ottenere $89$ come resto in una divisione per $13$, proprio come ha detto ficus2002).
Dunque si può dire che NON esiste un metodo generale per risolvere questi quesiti; occorre analizzare caso per caso, a seconda del numero che si ha davanti, vero? Se non chiedo troppo, vorrei gentilmente sapere come ha fatto ficus2002 a dire che il numeraccio è $11mod13$... e soprattutto come ha fatto - senza usare la calcolatrice - a stabilire le varie congruenze... (ci sto ancora per l'$11$, per il quale esiste un criterio di divisibilità, ma per $37$? Esistono criteri?)
Davvero, un grazie enorme a tutti
GRAZIE,
Paolo
"Paolo90":
Se non chiedo troppo, vorrei gentilmente sapere come ha fatto ficus2002 a dire che il numeraccio è $11mod13$... e soprattutto come ha fatto - senza usare la calcolatrice - a stabilire le varie congruenze... (ci sto ancora per l'$11$, per il quale esiste un criterio di divisibilità, ma per $37$? Esistono criteri?)
Per calcolare il resto modulo $13$ e $11$ puoi usare il fatto che $1000\equiv -1$ sia modulo $11$ che $13$, così
$21982145917308330487013369\equiv -21982145917308330487013+369=-21982145917308330486644$ modulo $11$ e $13$
$21982145917308330486644\equiv -21982145917308330486+644=-21982145917308329842$ modulo $11$ e $13$
$21982145917308329842\equiv -21982145917308329+842=...$
Ad ogni passo togli 3 cifre dai piedi.
Per testare la divisibiltà per $37$ basta osservare che $1000\equiv 1 (mod 37)$, così
$21982145917308330487013369\equiv 21982145917308330487013+369=21982145917308330487382 (mod 37)$
$21982145917308330487382\equiv 21982145917308330487+382=21982145917308330869 (mod 37)$
$21982145917308330869 \equiv ...$
Come prima, meno tre cifre ad ogni passo.
Thank you very much. Farò un po' di tentativi inventandomi altri numeri e vi farò sapere se ci sono altri problemi. Grazie ancora,
Paolo
Paolo
Anche se in ritardo...
Hai ragione, ho commesso una leggerezza. Una volta fatto il penultimo passaggio dell'algoritmo della divisione, mi sono trovato 89 come numero da dover dividere per 13 (e scrivere 6 come cifra dell'unità del quoziente).
Sapendo che 89 era il risultato, ho pensato che fosse risolto.
Grazie a ficus2002 per le spiegazioni che servivano anche a me, e a Paolo90 per averle richieste
Ciao.
"ficus2002":Se divido un numero per $13$ il resto che ottengo è minore di $13$... non è possibile ottenere come resto $89$ in una divisione per $13$...[/quote]
[quote="Steven"]Ciò significa che dividendo quel numeraccio per $13$ ottengo un certo resto, che è proprio $n$, il numero cercato.
[...]
Incolonnando, perdo 5-10 minuti sulla divisione e ottengo un certo quoziente che non ci interessa, e resto $89$, da cui $n=89$
Hai ragione, ho commesso una leggerezza. Una volta fatto il penultimo passaggio dell'algoritmo della divisione, mi sono trovato 89 come numero da dover dividere per 13 (e scrivere 6 come cifra dell'unità del quoziente).
Sapendo che 89 era il risultato, ho pensato che fosse risolto.
Grazie a ficus2002 per le spiegazioni che servivano anche a me, e a Paolo90 per averle richieste
Ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo