Multipli di 3
CIAO A TUTTI! Avrei bisogno di un grande favore: qualcuno sa perchè un numero intero è divisibile per tre se e solo se lo è la somma delle sue cifre nella rappresentazione in base dieci?! 
please answer 
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Risposte
Perché un numero del tipo $N=\sum_{i=0}^n a_i10^i$, dove $a_i \in \{0,...,9\}$ per ogni $i=1,...,n$, lo puoi scrivere così:
$N=\sum_{i=0}^n a_i(10^i-1) + \sum_{i=0}^n a_i$
Poiché $10^i-1$ è divisibile per 10-1=9 - e quindi anche per 3 -, la prima di tali due sommatorie è divisibile per 9 (perché lo sono tutti gli addendi) - e quindi anche per 3 -. Ne segue che:
- N è divisibile per 9 se e solo se la seconda sommatoria è divisibile per 9,
- N è divisibile per 3 se e solo se la seconda sommatoria è divisibile per 3.
$N=\sum_{i=0}^n a_i(10^i-1) + \sum_{i=0}^n a_i$
Poiché $10^i-1$ è divisibile per 10-1=9 - e quindi anche per 3 -, la prima di tali due sommatorie è divisibile per 9 (perché lo sono tutti gli addendi) - e quindi anche per 3 -. Ne segue che:
- N è divisibile per 9 se e solo se la seconda sommatoria è divisibile per 9,
- N è divisibile per 3 se e solo se la seconda sommatoria è divisibile per 3.
bello, questa è mate!
mi piace
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Ah grazie (troppo buono).
(troppo buono).
Propongo di dimostrare la seguente affermazione:
Sia N un intero naturale ,a la sua ultima cifra ed N' il numero
che si ottiene eliminando da N proprio la sua ultima cifra
( in pratica N' e' il quoziente intero di N/10).
Dimostrare che N e' divisibile per 7 sse (solo e solo se) N'-2*a e' divisibile per 7
Esempio.
N=378 e' divisibile per 7
Infatti:
a=8,N'=37,N'-2*a=37-16=21 che e' divisibile per 7
Ovviamente il procedimento e' applicabile " in cascata" finche' non si giunge ad un numero piccolo.
Esempio ulteriore.
N=12345
a=5,N'=1234,N'-2*a=1234-10=1224
N=1224,a=4,N'=122,N'-2*a=122-8=114
N=114,a=4,N'=11,N'-2*a=11-8=3
Allora N=12345 non e' divisibile per 7
karl
Sia N un intero naturale ,a la sua ultima cifra ed N' il numero
che si ottiene eliminando da N proprio la sua ultima cifra
( in pratica N' e' il quoziente intero di N/10).
Dimostrare che N e' divisibile per 7 sse (solo e solo se) N'-2*a e' divisibile per 7
Esempio.
N=378 e' divisibile per 7
Infatti:
a=8,N'=37,N'-2*a=37-16=21 che e' divisibile per 7
Ovviamente il procedimento e' applicabile " in cascata" finche' non si giunge ad un numero piccolo.
Esempio ulteriore.
N=12345
a=5,N'=1234,N'-2*a=1234-10=1224
N=1224,a=4,N'=122,N'-2*a=122-8=114
N=114,a=4,N'=11,N'-2*a=11-8=3
Allora N=12345 non e' divisibile per 7
karl
Vabbè via, allora trovate il criterio di divisibilità per 37, è ganzo!
Francesco Daddi
Francesco Daddi
Mostro solo che $N-=0 (mod7) rarr N^{\prime}-2a -= 0 (mod7)$
Riprendendo la notazione $N=sum_(i=0)^n a_i*10^i$, si ha che $N-=sum_(i=0)^n a_i3^i-=a_0+sum_(i=1)^na_i3^i-=0 (mod7)$ per ipotesi, cioé $a_0-=-sum_(i=1)^n a_i3^i$;
quindi
$N^{\prime}-2a-=sum_(i=1)^na_(i+1)3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=3^(-1)sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i$,
ma $3^-1-=5(mod7)$ e allora
$3^(-1)sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=5sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=7sum_(i=1)^na_i3^i-=0 (mod7)$
Riprendendo la notazione $N=sum_(i=0)^n a_i*10^i$, si ha che $N-=sum_(i=0)^n a_i3^i-=a_0+sum_(i=1)^na_i3^i-=0 (mod7)$ per ipotesi, cioé $a_0-=-sum_(i=1)^n a_i3^i$;
quindi
$N^{\prime}-2a-=sum_(i=1)^na_(i+1)3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=3^(-1)sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i$,
ma $3^-1-=5(mod7)$ e allora
$3^(-1)sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=5sum_(i=1)^na_i3^i+2sum_(i=1)^na_i3^i-=7sum_(i=1)^na_i3^i-=0 (mod7)$
Se $N\equiv 0 (mod7)$, allora $10N'+a \equiv 3N'+a\equiv0(mod7) \implies 3N'\equiv 6a(mod7)$, moltiplicando per l'inverso di $3$ modulo $7$ (cioè $5$), si ha $N'\equiv30a \equiv 2a (mod7)$. E per l'altro verso basta percorrere la strada opposta.
Belle dimostrazioni !!!
Ma se si dovesse dimostrare la cosa piu' terra terra,per esempio ad uno
che conosce poco di congruenze ( non siate maligni e non pensate a me
),
come condurreste la dimostrazione?
karl
Ma se si dovesse dimostrare la cosa piu' terra terra,per esempio ad uno
che conosce poco di congruenze ( non siate maligni e non pensate a me
),come condurreste la dimostrazione?
karl
"karl":
Dimostrare che N e' divisibile per 7 sse (solo e solo se) N'-2*a e' divisibile per 7
Ciò si può dedurre da questo criterio.
Infatti, siano $b_1:=10$ e $b_2:=-3$ e siano $q_1,q_2\in ZZ$ sono tali che $N=10q_1 -3q_2$. Allora
$10q_1 -3q_2=10N'+a$
Moltiplicando tutto per $-2$, si ottiene
$-20q_1+6q_2=-20N'-2a$
da cui
$q_1-q_2+7(-3q_2+q_1)=N'-2a-7(3N')$
così
$7|N iff 7|q_1-q_2 \iff 7|N'-2a$.
@ficus2002
Senza voler nulla togliere niente a nessuno,direi che questa
dimostrazione e' proprio quella che cercava quel tale "uno".
Bello anche il criterio a cui ti riferisci.Potrebbe servire
per giungere al criterio di divisibilita' per 37,come richiesto da franced?
karl
Senza voler nulla togliere niente a nessuno,direi che questa
dimostrazione e' proprio quella che cercava quel tale "uno".
Bello anche il criterio a cui ti riferisci.Potrebbe servire
per giungere al criterio di divisibilita' per 37,come richiesto da franced?
karl
"karl":
Potrebbe servire per giungere al criterio di divisibilita' per 37,come richiesto da franced?
Certamente. Esiste una generalizzazione del criterio che hai citato:
Sia $N$ un numero naturale, sia $a$ la sua cifra delle unità e sia $N'$ tale che $N=10*N'+a$. Siano $d,c\in ZZ$ tali che $d|(10*c-1)$.
Allora $d|N$ se e solo se $d|(N'+c*a)$.
Per la dimostrazione, basta osservare che
$10*(N'+c*a)=N+(10*c-1)*a$
e che $d$ è necessariamente primo con $10$.
Per il criterio di divisibilità per $7$ si può scelgliere $d=7$ e $c=-2$;
Nel caso di $d=37$, si può scegliere $c=-11$. Qui il criterio si rivela particolarmente facile da applicare:
$37|n iff 37|N'-aa$
dove $aa=10*a+a$.
Per esempio $37|245\iff 37|(24-55)$.
GRAZIE MILLE A TUTTI! siete stati molto gentili! 
@ficus2002
Troppo bello!!
karl
Troppo bello!!
karl
Una curiosità sul numero 37:
Se un numero intero di tre cifre in base 10, cioè del tipo "abc" = 100a+10b+c, è divisibile per 37, allora lo è se letto a partire da ognuna delle sue tre cifre (in modo ciclico). Cioè saranno divisibili per 37 anche bca e cab.
Per esempio 148 è divisibile per 37 e quindi lo sono anche 481 e 814.
Non so se esista una generalizzazione.
Se un numero intero di tre cifre in base 10, cioè del tipo "abc" = 100a+10b+c, è divisibile per 37, allora lo è se letto a partire da ognuna delle sue tre cifre (in modo ciclico). Cioè saranno divisibili per 37 anche bca e cab.
Per esempio 148 è divisibile per 37 e quindi lo sono anche 481 e 814.
Non so se esista una generalizzazione.
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