\( M^{{\otimes}k} \) è isomorfo a un complemento diretto di un sottomodulo di \( N^{{\otimes}k} \)

[marco2132k]

Ciao! Sia \( \phi\colon M\to N \) un omomorfismo iniettivo di \( R \)-moduli (con \( R \) anello commutativo), e facciamo che \( N \) si decomponga nella somma diretta di \( \phi(M) \) e di un qualche altro sottomodulo \( P\leqq N \).

Fissato un \( k\geqq 0 \), perché anche \( N^{{\otimes}k} \) si decompone come \( N^{{\otimes}k} = M^{{\otimes}k}\oplus Q \) per qualche suo sottomodulo \( Q \)?

Evidentemente, se vale quello che ho scritto sopra, \( \phi^{{\otimes}k} \) splitta: se \( \psi\colon N\to M \) è l'omomorfismo definito mappando \( \phi(m) + p\mapsto m \), per la funtorialità di \( \otimes \) è \( \phi^{{\otimes}k}\circ\psi^{{\otimes}k} = 1_{M^{{\otimes}k}} \).

Sotto c'è lo splitting lemma, ma non ho capito bene come usarlo per ottenere quello che voglio.

[solaàl]

Forse intendevi scrivere che \(N^{\otimes k}\cong \phi(M)^{\otimes k}\oplus Q\)?

In ogni caso, nelle categorie di moduli vale la regola del binomio di Newton:
\[
(\phi(M)\oplus P)^{\otimes k}\cong\bigoplus_{i=0}^k \binom ki \cdot P^{\otimes i}\otimes \phi(M)^{k-i}
\]quindi la tesi è vera scegliendo \(Q = \bigoplus_{i=1}^{k} \binom ki \cdot P^{\otimes i}\otimes \phi(M)^{k-i}\).

(Quando scrivo "cdot" in \(\binom ki \cdot E\) intendo la \(\sf Set\)-copotenza, cioè il coprodotto di \(\binom ki\) copie di \(E\)).

[marco2132k]

"solaàl":Forse intendevi scrivere che \( N^{\otimes k}\cong \phi(M)^{\otimes k}\oplus Q \)?

Sì in realtà non intendevo scrivere nulla. Quello che volevo dimostrare è semplicemente che \( M^{{\otimes}k} \) è isomorfo a un addendo diretto di \( N^{{\otimes}k} \). Trovare la relazione tra \( \phi(M)^{{\otimes}k} \) e \( \phi^{{\otimes}k}(M^{{\otimes}k}) \) mi sa che è un po' più difficile.

"solaàl":binomio di Newton

Carino!

Comunque, se volessi usare il fatto che da una sequenza esatta di moduli
\[
\begin{CD}
0@>>> A @>\phi>> B@>\psi>> C@>>> 0
\end{CD}
\] se è \( \phi\circ\nu = 1_A \) per qualche \( \nu\colon B\to A \), posso tirare giù l'isomorfismo
\[
\begin{CD}
0@>>> A @>\phi>> B@>\psi>> C@>>> 0\\
@. @| @VV{\cong}V @|\\
0@>>> A @>>> A\oplus C @>>> C@>>> 0
\end{CD}
\] in questo caso come dovrei fare?

Ho pensato di scrivere la sequenza ovvia
\[
\begin{CD}
0@>>> M^{{\otimes}k} @>\phi^{{\otimes}k}>> \phi^{{\otimes}k}(M^{{\otimes}k}) @>\iota>> N^{{\otimes}k} @>>> 0
\end{CD}
\]
ma

[solaàl]

Beh, se è così è semplice, \(\phi\mapsto \phi^{\otimes k}\) è un funtore, e tutti i funtori mandano split mono in split mono... ma è tardi, potrei non aver capito la domanda.

Also, avrai notato che le conversazioni su temi che non siano frignare perché non si sa cos'è un autovalore si risolvono in dialoghi tra me e te, in questa [redatto] di [redatto]; tanto vale che quando hai una domanda mi scrivi in privato, o molto meglio, mediante altri canali.

[marco2132k]

"solaàl":Beh, se è così è semplice, \( \phi\mapsto \phi^{\otimes k} \) è un funtore, e tutti i funtori mandano split mono in split mono... ma è tardi, potrei non aver capito la domanda.

Sì, questo fatto l'ho usato su per dimostrare che anche \( \phi^{{\otimes}k} \) ha inversa sx.

Quello che non riesco a fare, e che deve essere una cosa banalissima, è proprio disegnare il diagramma giusto. Se riesci a scrivermelo, +1 (poi la smetto, giuro!).

"solaàl":Also [...]

Sì, l'ho notato. È abbastanza grave. (Nel senso, sarebbe grave anche se a rispondere fosse una qualsiasi persona con un po' più di una triennale, dato che non ho mai fatto chissà che domande...)

[axpgn]

La domanda sorge spontanea: se vi trovate così male, che ci venite a fare?

[solaàl]

Mi sembra un off topic, vuoi scrivermi in privato anche tu?

[axpgn]

No, semplice curiosità.

[gugo82]

"solaàl":Also, avrai notato che le conversazioni su temi che non siano frignare perché non si sa cos'è un autovalore si risolvono in dialoghi tra me e te, in questa [redatto] di [redatto]; tanto vale che quando hai una domanda mi scrivi in privato, o molto meglio, mediante altri canali.

Beh, se è per questo c'è anche chi frigna perché non trova interlocutori, ma nessuno di quelli che non sa cos'è un autovalore se n'è mai lamentato... Questione di buona educazione e savoir-vivre suppongo.