Morfismo tra strutture con elemento neutro
ripassando alcuni argomenti di algebra mi è venuto un dubbio:
dato un morfismo tra gruppi, diciamo $\Phi:AtoB$, sia $+_A$ l'operazione in $A$, $+_B$ l'operazione in $B$
detto $e$ il neutro di $A$, $g$ il neutro di $B$ dobbiamo dimostrare che $\Phi(e)=g$
la dimostrazione che avevo imparato a suo tempo è:
$AA a in A$ , $\Phi(a)=\Phi(a\ +_A\ e)=\Phi(a)\ +_B\ \Phi(e)$
da cui $\Phi(e)=g$.
ma mi pare una conclusione un po' affrettata, infatti abbiamo che la relazione sopra vale per ogni $a$, e quindi concludo che $\Phi(e)$ è l'elemento neutro per il sottogruppo di $B$ che chiamo $Imm(\Phi)$. ma nulla mi assicura che sia proprio $g$.
idee?
dato un morfismo tra gruppi, diciamo $\Phi:AtoB$, sia $+_A$ l'operazione in $A$, $+_B$ l'operazione in $B$
detto $e$ il neutro di $A$, $g$ il neutro di $B$ dobbiamo dimostrare che $\Phi(e)=g$
la dimostrazione che avevo imparato a suo tempo è:
$AA a in A$ , $\Phi(a)=\Phi(a\ +_A\ e)=\Phi(a)\ +_B\ \Phi(e)$
da cui $\Phi(e)=g$.
ma mi pare una conclusione un po' affrettata, infatti abbiamo che la relazione sopra vale per ogni $a$, e quindi concludo che $\Phi(e)$ è l'elemento neutro per il sottogruppo di $B$ che chiamo $Imm(\Phi)$. ma nulla mi assicura che sia proprio $g$.
idee?
Risposte
Non basterebbe osservare che l'elemento neutro di $Imm(Phi)$ coincide con quello di $B$ essendo $Imm(Phi)$ un suo sottogruppo?
mah, è che questo di cui parliamo è un risultato così basilare che non tirerei in ballo altra teoria.
Inoltre mi sa che per dimostrare che l'immagine è un sottogruppo si usi questo fatto.
comunque adesso ho realizzato che il mio era un dubbio banale, quella dimostrazione va bene, bisogna solo terminare.
Inoltre mi sa che per dimostrare che l'immagine è un sottogruppo si usi questo fatto.
comunque adesso ho realizzato che il mio era un dubbio banale, quella dimostrazione va bene, bisogna solo terminare.
Se ti sembra tropo sofisticato quel risultato (a me pare non lo sia eccessivamente però) puoi per esempio dedurre $Phi(a)+g=Phi(a)+Phi(e)$, da cui l'asserto.
Secondo me la via più veloce è la legge di cancellazione che vale nei gruppi. Precisamente, sia $G$ un gruppo e $a,b, c\inG$. Se
$ab=ac$
allora
$b=c$
ovvero, possiamo cancellare $a$ da ambo i membri, come siamo abituati a fare con le identità numeriche.
Da questa legge discende il risultato di blackbishop, e anche quello di mistake. Inoltre entrambi i risultati si estendono ai domini di integrità, in cui vale un risultato analogo di cancellazione; infine, negli anelli che non sono domini di integrità e nei quali non vale la legge di cancellazione, entrambi i risultati falliscono.
Questo mi porta a pensare che sia "giusto" inquadrare i risultati detti come conseguenze della legge di cancellazione.
$ab=ac$
allora
$b=c$
ovvero, possiamo cancellare $a$ da ambo i membri, come siamo abituati a fare con le identità numeriche.
Da questa legge discende il risultato di blackbishop, e anche quello di mistake. Inoltre entrambi i risultati si estendono ai domini di integrità, in cui vale un risultato analogo di cancellazione; infine, negli anelli che non sono domini di integrità e nei quali non vale la legge di cancellazione, entrambi i risultati falliscono.
Questo mi porta a pensare che sia "giusto" inquadrare i risultati detti come conseguenze della legge di cancellazione.
non è che è sofisticato, è cannonare una zanzara. funziona, ma non è il caso.
e poi più che altro penso che sia un risultato basilare, su cui si fondano altri, tra cui quello che tu proponi come metodo risolutivo.
comunque dai non stiamo qui a fare sofismi, grazie per l'aiuto, tutto a posto, ciao!
e poi più che altro penso che sia un risultato basilare, su cui si fondano altri, tra cui quello che tu proponi come metodo risolutivo.
comunque dai non stiamo qui a fare sofismi, grazie per l'aiuto, tutto a posto, ciao!
"blackbishop13":
comunque adesso ho realizzato che il mio era un dubbio banale, quella dimostrazione va bene, bisogna solo terminare.
Sapere come hai scelto di terminare è chiedere troppo?
"gugo82":
[quote="blackbishop13"]comunque adesso ho realizzato che il mio era un dubbio banale, quella dimostrazione va bene, bisogna solo terminare.
Sapere come hai scelto di terminare è chiedere troppo?[/quote]
no. non capisco il tono poco gentile,
comunque mi sembrava chiaro che la conclusione di mistake89 è quella buona, io mi incartavo in una sciocchezza, non vedevo il modo giusto che è appunto
quello anche di dissonance, usare la "cancellazione" dall' uguaglianza ottenuta
$\Phi(a)=\Phi(a)\ +_B\ \Phi(e)$ da cui aggiungendo al membro di destra e sinistra $-\Phi(a)$ che esiste perchè $B$ è un gruppo,
da cui $-\Phi(a)\ +_B\ \Phi(a)=-\Phi(a)\ +_B\ (\Phi(a)\ +_B\ \Phi(e))$ da cui $g=\Phi(e)$
"blackbishop13":
[quote="gugo82"][quote="blackbishop13"]comunque adesso ho realizzato che il mio era un dubbio banale, quella dimostrazione va bene, bisogna solo terminare.
Sapere come hai scelto di terminare è chiedere troppo?[/quote]
no. non capisco il tono poco gentile[/quote]
Era una semplice sollecitazione a condividere; non intendevo essere poco gentile.
La sollecitazione è dovuta al seguente fatto: non capisco perchè, fatta una domanda sul foro ed iniziata una discussione, un utente esperto non abbia la cortesia di pubblicare una soluzione trovata autonomamente.
Questo è contro lo spirito del forum, a mio modo di vedere.
Quando ho postato simili questioni (ricevendo risposte molto illuminanti, tra l'altro), poi ho sempre cercato di forire le risposte che andavo trovando in autonomia (ad esempio qui o qui).
Questione di cortesia verso chi legge e chi aiuta.
ok, capisco e condivido!
solo che la questione mi pareva molto semplice, e che la conclusione fosse chiara, ma hai fatto bene a sollecitarmi a scriverla per bene!
solo che la questione mi pareva molto semplice, e che la conclusione fosse chiara, ma hai fatto bene a sollecitarmi a scriverla per bene!
Grazie a te per averla scritta. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo