Morfismo suriettivo tra un campo e un anello quoziente
Ciao, ho un dubbio sul seguente esercizio:
Può esistere un morfismo suriettivo da $(QQ[x])/(x^3-3)$ a $(QQ[x])/(x^3-1)$ ?
Pongo $A=(QQ[x])/(x^3-3)$ e $B=(QQ[x])/(x^3-1)$, per semplificare la notazione.
Per essere un morfismo, lo $0_A$ deve andare nello $0_B$, quindi:
parto dallo $0_A=(x^3-3)$, se considero la sua classe di equivalenza in $B$ ottengo $x^3-3+(x^3-1)$.
Ma $x^3-3+(x^3-1)=0_B hArr x^3-1$ divide $x^3-3 $.
Facendo la divisione ottengo: $x^3-3=(x^3-1)-2$, cioè $x^3-3 +(x^3-1)=-2+(x^3-1) != 0_B $
Quindi lo $0_A$ non va nello $0_B$, quindi non esiste il morfismo.
E' sbagliato il ragionamento?
Può esistere un morfismo suriettivo da $(QQ[x])/(x^3-3)$ a $(QQ[x])/(x^3-1)$ ?
Pongo $A=(QQ[x])/(x^3-3)$ e $B=(QQ[x])/(x^3-1)$, per semplificare la notazione.
Per essere un morfismo, lo $0_A$ deve andare nello $0_B$, quindi:
parto dallo $0_A=(x^3-3)$, se considero la sua classe di equivalenza in $B$ ottengo $x^3-3+(x^3-1)$.
Ma $x^3-3+(x^3-1)=0_B hArr x^3-1$ divide $x^3-3 $.
Facendo la divisione ottengo: $x^3-3=(x^3-1)-2$, cioè $x^3-3 +(x^3-1)=-2+(x^3-1) != 0_B $
Quindi lo $0_A$ non va nello $0_B$, quindi non esiste il morfismo.
E' sbagliato il ragionamento?
Risposte
"blonde angy":Non mi convince!
...$0_A=(x^3-3)$, se considero la sua classe di equivalenza in $B$ ottengo $x^3-3+(x^3-1)$...
Non convince neanche me, ma tu avresti un'idea per come impostare l'esercizio per dimostrare il morfismo?
La classe di equivalenza in [tex]$B$[/tex] è composta dai polinomi di [tex]$\mathbb{Q}[x]$[/tex] tali che [tex]$x^3-3-r=q(x^3-1)$[/tex], quindi conviene applicare la divisione euclidea tra polinomi ottenendo così che [tex]$[0_A]_B=[r]_B$[/tex]!
A meno di miei errori!
A meno di miei errori!
Si, appunto.. infatti applicando la divisione euclidea ho ottenuto $[0_A]_B=[-2]_B$ . Ma $[-2]_B != [0]_B$, giusto?
Sì, ora ci troviamo!
E questo è perché $-2 notin (x^3-1)$, giusto?
Non so pero' se questo possa bastare per dire che il morfismo non esiste!
Ti ringrazio moltissimo per la tua disponibilità e scusami se insisto molto ma faccio davvero fatica a capire il modo in cui ragionare per risolvere questo esercizio.
Non so pero' se questo possa bastare per dire che il morfismo non esiste!
Ti ringrazio moltissimo per la tua disponibilità e scusami se insisto molto ma faccio davvero fatica a capire il modo in cui ragionare per risolvere questo esercizio.
Ovvio che [tex]$-2\not\in(x^3-1)$[/tex] e che quindi [tex]$[0_A]_B\not=[0_B]_B$[/tex], ma qualcosa mi dice che ciò non porta a nessuna conclusione del tuo quesito! 
Ci penserò...
Ci penserò...
Grazie mille, continuerò a pensarci anche io...
Ragazzi, avete un omomorfismo suriettivo il cui dominio è un campo... cosa potete dire del nucleo? 
Giusto!
Ho un morfismo da un campo, $QQ[x]$, ad un anello quindi è iniettivo e di conseguenza $Kerf=0_A=(x^3-3)$.
Quindi per il Teorema fondamentale di omomorfismi per anelli $(QQ[x])/(x^3-3) ~= (QQ[x])/(x^3-1)$.
Grazie mille davvero per l'aiuto!
Ho un morfismo da un campo, $QQ[x]$, ad un anello quindi è iniettivo e di conseguenza $Kerf=0_A=(x^3-3)$.
Quindi per il Teorema fondamentale di omomorfismi per anelli $(QQ[x])/(x^3-3) ~= (QQ[x])/(x^3-1)$.
Grazie mille davvero per l'aiuto!
"blonde angy":E ti pare che un tale isomorfismo possa esistere?
Quindi per il Teorema fondamentale di omomorfismi per anelli $(QQ[x])/(x^3-3) ~= (QQ[x])/(x^3-1)$.
Non esiste perché il morfismo che considero inizialmente è iniettivo ma non suriettivo, giusto?
Quindi l'isomorfismo sarebbe tra $(QQ[x])/(x^3-3)$ e $Imf$ che è pero' diversa da tutto l'anello proprio perché non è un morfismo suriettivo?
Quindi l'isomorfismo sarebbe tra $(QQ[x])/(x^3-3)$ e $Imf$ che è pero' diversa da tutto l'anello proprio perché non è un morfismo suriettivo?
No, non è quello il punto.
Se esistesse un isomorfismo [tex]\mathbb{Q}[X]/(X^3-3) \cong \mathbb{Q}[X]/(X^3-1)[/tex] allora questi due anelli sarebbero isomorfi.
In particolare [tex]\mathbb{Q}[X]/(X^3-1)[/tex] sarebbe un campo. Ma questo è falso, prova a pensarci.
Se esistesse un isomorfismo [tex]\mathbb{Q}[X]/(X^3-3) \cong \mathbb{Q}[X]/(X^3-1)[/tex] allora questi due anelli sarebbero isomorfi.
In particolare [tex]\mathbb{Q}[X]/(X^3-1)[/tex] sarebbe un campo. Ma questo è falso, prova a pensarci.
Giusto! Certo se c'è isomorfismo di anelli e uno è un campo anche l'altro deve esserlo necessariamente!
Pur sapendo queste cose a volte non riesco proprio a vederle e ad applicarle negli esercizi, ti ringrazio tantissimo!
Pur sapendo queste cose a volte non riesco proprio a vederle e ad applicarle negli esercizi, ti ringrazio tantissimo!
E perché $QQ[X] // (X^3-1)$ non è un campo? Ho studiato queste cose un po' di anni fa e non mi viene in mente una risposta concisa. Me lo spieghi?
"dissonance":
E perché $QQ[X] // (X^3-1)$ non è un campo? Ho studiato queste cose un po' di anni fa e non mi viene in mente una risposta concisa. Me lo spieghi?
Non è nemmeno un dominio perché contiene divisori dello zero: prendi ad esempio il laterale $X-1+ (X^3-1)$.
Tieni a mente che il quoziente è un campo se e soltanto se l'ideale è massimale (che deve essere quindi generato da un polinomio irriducibile, perchè $QQ[X]$ è un PID); se ci pensi, succede la stessa cosa in $ZZ$ (il quoziente per un ideale è un campo sse l'ideale è massimale, i.e. generato da un numero primo).
Ti è chiaro?
Certo, Paolo, grazie. A dire il vero speravo che a rispondere fosse blonde angy, per completare la traccia di ragionamento lasciata da Martino.
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