Morfismo suriettivo di anelli

[Gruppia]

Ciao a tutti, mi aiutate a risolvere questo esercizio? Ho due anelli commutativi A e B e un morfismo suriettivo di anelli f da A a B. Se A=Z 29 (Z quozientato con il sottogruppo ciclico generato da 29), quanti elementi deve avere B?
Grazie![/url][/code]

[mistake89]

Beh si tratta di studiare i possibili quozienti, ovvero gli ideali di $A$.
Considerando che $29$ è primo, direi che anche $B$ deve avere $29$ elementi.

Controlla però perché è un'idea, non ci ho pensato molto!

PS Ovviamente hai l'omomorfismo nullo, ma non è di certo un caso interessante.

[Richard_Dedekind]

Allora, abbiamo detto che [tex]A,B[/tex] sono anelli commutativi e che [tex]f:A\longrightarrow B[/tex] è un morfismo suriettivo d'anelli. Da questo troviamo subito che [tex]|B|\leq|A|[/tex], e dunque se [tex]A=\mathbb{Z}_{29}[/tex], che è un campo d'ordine [tex]29[/tex], troviamo che la cardinalità di [tex]B[/tex] è al più [tex]29[/tex]. Sinceramente non vedo il motivo per il quale dovrebbe averne esattamente [tex]29[/tex], magari ora come ora mi sfugge qualcosa.

[mistake89]

Beh dal teorema di omomorfismo. Se $f$ è il nostro epimorfismo, considerato il suo nucleo $I$, quale può essere la cardinalità di $I$? Credo solo $1$ o $29$. Nell'ultimo caso abbiamo l'omomorfismo banale, nell'altro caso abbiamo che $A \cong A//I$ che è isomorfo a $f(A)=B$ da cui quello che ho detto sopra.

Magari ho sbagliato io,eh

[Richard_Dedekind]

Giusto, nel caso in cui [tex]A=\mathbb{Z}_{29}[/tex] il nucleo dell'epimorfismo [tex]f[/tex] non può essere che un ideale banale essendo [tex]A[/tex] un campo e quindi [tex]A\cong A/I \cong f(A)=B[/tex]. Non ci avevo pensato abbastanza!

[Gruppia]

Grazie mille, ora è tutto chiaro!