Morfismo su permutazioni

[k0de]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe darmi una mano con questo esercizio?

In $S_8$, si ha $tau$ = $ ( 1 4 5 ) (2 8 3)$,

a) trovare un morfismo $omega$ : $Z$ $ rarr $ $S_8$ tale che $Im$($omega$) $ = $ $ < tau> $

b) mostrare che $ker$($omega$) = $ < 6 > $ .

grazie anticipatamente

[mistake89]

Io inizierei a calcolare $$ e poi sfrutterei i teoremi di isomorfismo. Prova a vedere un po'!

Considera anche che son gruppi ciclici.

[k0de]

eh il problema è che non so trovare il generatore di $tau$

[mistake89]

Aspetta non credo di aver intero il tuo dubbio. L'esercizio stesso ti assegna il generatore di $$ che è esattamente $tau$. Quel sottogruppo è dato dalle potenze di quell'elemento.

[k0de]

Ah già che stupido: ho calcolato il sottogruppo $$ = ${ id, (1 4 5)(283), (1 5 4) ( 2 3 8)}$ .

Che teorema potrei usare?

grazie

[mistake89]

Guarda secondo me possiamo anche fare a meno di teoremi eclatanti solo ragionare un po'.
Prendi un intero come possiamo usarlo per determinare un'immagine di un elemento di $$? Cioè preso $a$ intero, che elemento di $$ gli assegneresti?

PS Il quesito 3 è sbagliato, oppure è sbagliata $tau$

[k0de]

Ah hai ragione ho dimenticato $(6 7)$:

quindi, $tau$ = $(1 4 5) (2 8 3) (6 7 )$, il periodo di $tau$ è $6$ e risulta $< tau> $ = $ { id, (1 4 5) (2 8 3) (6 7), (1 5 4) (2 8 3), (6 7), (1 4 5) (2 8 3), (1 5 4) (2 8 3) (6 7 )}.

non ti seguo riguardo la storia dell'intero. Potresti rimandarmi alla parte teorica?

[mistake89]

Ora è corretto
Si tratta di determinare un'applicazione che preda un intero e lo associ a qualcosa. Questa applicazione deve essere lineare.

Definiamo allora $omega$ come segue: $AA a in ZZ$ $\omega(a)=tau^a$.
Prova che questa è un'applicazione lineare. Qual è la sua immagine?

Inoltre quando $\omega(a)=id$?

[k0de]

L'immagine di $omega$ è $$;

$omega(6z) = id$, con $z$ appartente a $Z$, dunque $ker(omega) = <6>$, tutto chiaro, grazie mille

[mistake89]

Di nulla Buono studio