Morfismo fra due anelli
Sia $ f:A_1 \rightarrow A_2 $ un omomorfismo fra anelli. Provare che se $ H $ è un sottoanello di $ A_1 $ allora $ f^{-1}(f(H))=H+ker(f) $
Sia $ (h+x) \in H+ker(f) $ allora $ f(h+x)=f(h)+f(x)=f(h)+0=f(h) \in f(H) $ quindi $ f(H+ker(f)) \subset f(H) $ ovvero $ H+ker(f) \subset f^{-1}(f(H)) $ L'altra inclusione non mi riesce, se mi date un'idea vi ringrazio molto.
Sia $ (h+x) \in H+ker(f) $ allora $ f(h+x)=f(h)+f(x)=f(h)+0=f(h) \in f(H) $ quindi $ f(H+ker(f)) \subset f(H) $ ovvero $ H+ker(f) \subset f^{-1}(f(H)) $ L'altra inclusione non mi riesce, se mi date un'idea vi ringrazio molto.
Risposte
non mi torna una cosa, quando dici 
\(f(H+\ker(f))\subseteq f(H)\) ovvero \(f^{-1}(f(H+\ker(f)))\subseteq f^{-1}(f(H))\)
"perplesso":non stai per caso assumendo \(f^{-1}(f(x))=x\)?
\(f(H+\ker(f))\subseteq f(H)\) ovvero \(H+\ker(f)\subseteq f^{-1}(f(H))\)
\(f(H+\ker(f))\subseteq f(H)\) ovvero \(f^{-1}(f(H+\ker(f)))\subseteq f^{-1}(f(H))\)
"albertobosia":
non stai per caso assumendo \(f^{-1}(f(x))=x\)?
Ma anche no. Mettiamola così $ H+ker(f) \subseteq f^{-1}(f(H+\ker(f))) \subseteq f^{-1}(f(H)) $ Sei convinto adesso?
Che poi mi sembra una questione di semplici definizioni cioè $ f^{-1}(f(H)) $ è l'insieme di tutti gli elementi che hanno per immagine un elemento di $ f(H) $. Ho dimostrato con semplici passaggi che tutte le immagini degli elementi di $ H+kef(f) $ appartengono a $ f(H) $ segue che $ H+kef(f) $ è contenuto in $ f^{-1}(f(H)) $
ok, grazie e scusa per la domanda scema 
[tex]x \in f^{-1}(f(H)) \Rightarrow f(x) \in f(H)[/tex]. Allora [tex]\exists h \in H : f(x)=f(h)[/tex], ossia [tex]f(x)-f(h)=0[/tex]. A questo punto, considerando che l'applicazione [tex]f[/tex] è un omomorfismo dovresti riuscire a concludere con un altro piccolo passaggio
$ f(x-h)=0 $ cioè $ x-h = k \in ker(f) $ e quindi $ x=h+k \in H+ker(f) $ Che stupido che sono era proprio semplice, grazie 1000!
Ecco un altro problemino
Sia $ A $ un anello e siano $ f : Q \rightarrow A $ e $ g:Q \rightarrow A $ omomorfismi tali che $ f(x)=g(x) $ per ogni $ x \in Z $. Provare che $ g=f $.
Se $ f(1)=g(1)=0 $ allora f e g sono gli omomorfismi nulli. Pertanto escludiamo questo caso. Siano $ m,n $ interi non nulli $ f(m/n)=f(m)f(n^{-1})=g(m)f(n^{-1}) $ Si tratta di mostrare che $ f(n^{-1})=g(n^{-1}) $ per ogni $ n \in Z $. Ho pensato che se $ A $ è integro allora $ f(n) $ non è nullo ed è regolare quindi da $ f(n)f(n^{-1})=f(1)=g(1)=g(n)g(n^{-1})=f(n)g(n^{-1}) $ segue $ f(n^{-1})=g(n^{-1}) $ e quindi posso completare il ragionamento $ f(m/n)=f(m)f(n^{-1})=g(m)g(n^{-1}) = g(m/n) $ Come procedo se $ A $ non è integro? Grazie.
Sia $ A $ un anello e siano $ f : Q \rightarrow A $ e $ g:Q \rightarrow A $ omomorfismi tali che $ f(x)=g(x) $ per ogni $ x \in Z $. Provare che $ g=f $.
Se $ f(1)=g(1)=0 $ allora f e g sono gli omomorfismi nulli. Pertanto escludiamo questo caso. Siano $ m,n $ interi non nulli $ f(m/n)=f(m)f(n^{-1})=g(m)f(n^{-1}) $ Si tratta di mostrare che $ f(n^{-1})=g(n^{-1}) $ per ogni $ n \in Z $. Ho pensato che se $ A $ è integro allora $ f(n) $ non è nullo ed è regolare quindi da $ f(n)f(n^{-1})=f(1)=g(1)=g(n)g(n^{-1})=f(n)g(n^{-1}) $ segue $ f(n^{-1})=g(n^{-1}) $ e quindi posso completare il ragionamento $ f(m/n)=f(m)f(n^{-1})=g(m)g(n^{-1}) = g(m/n) $ Come procedo se $ A $ non è integro? Grazie.
Non ti serve l'integrità. Arrivato a [tex]f(n) f(n^{-1}) = f(n) g(n^{-1})[/tex] moltiplica per [tex]f(n^{-1})[/tex] da ambo le parti.
Hai ragione... grazie. 
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