Morfismo di G-insiemi
Riguardando le soluzioni di un vecchio esercizio (sto rifacendo tutte le serie di esercizi), la mia soluzione differisce da quella del prof, e secondo me la sua è sbagliata.
Sia \( G \) un gruppo e \( X,Y \) due \( G\)-insiemi (a sinsitra), sia \( \varphi : (X,\odot) \rightarrow (Y,\otimes) \) un morfismo di \(G\) insiemi. Dimostra che se \( \varphi \) è biietiva allora l'applicazione inversa \( \varphi^{-1} : Y \rightarrow X \) è un morfismo di \(G\)-insiemi.
La mia versione:
Visto che \( \varphi \) è un morfismo di \(G \) insiemi abbiamo \( \forall g\in G, \forall x \in X \) risulta \( \phi(g \odot x)=g \otimes \varphi(x) \). Sia \( g \in G \) e \( y \in Y\)
Inoltre \( g \otimes y = g \otimes y \Leftrightarrow \varphi( \varphi^{-1}(g\otimes y))=g \otimes \varphi( \varphi^{-1}(y)) \)
Inoltre visto che \( \varphi \) è un morfismo dei G-insiemi abbiamo che
\( g \otimes \varphi( \varphi^{-1}(y)) = \varphi(g \odot \varphi^{-1}(y)) \)
Dunque \( \varphi^{-1}(g \otimes y) = g \odot \varphi^{-1}(y) \)
La soluzione del prof:
Sia \( g \in G \) e \( x \in X \), dobbiamo dimostrare che \( \varphi^{-1}(gx)=g \varphi^{-1}(x) \)
\( gx = gx \Leftrightarrow \varphi( \varphi^{-1}(gx))=g\varphi( \varphi^{-1}(x)) \)
Inoltre visto che \( \varphi \) è un morfismo dei G-insiemi abbiamo che
\( g\varphi( \varphi^{-1}(x)) = \varphi(g\varphi^{-1}(x)) \)
Dunque \( \varphi^{-1}(gx) = g \varphi^{-1}(x) \)
Ma l'applicazione inversa \( \varphi^{-1} \) non prende \( y \in Y \) ??
Sia \( G \) un gruppo e \( X,Y \) due \( G\)-insiemi (a sinsitra), sia \( \varphi : (X,\odot) \rightarrow (Y,\otimes) \) un morfismo di \(G\) insiemi. Dimostra che se \( \varphi \) è biietiva allora l'applicazione inversa \( \varphi^{-1} : Y \rightarrow X \) è un morfismo di \(G\)-insiemi.
La mia versione:
Visto che \( \varphi \) è un morfismo di \(G \) insiemi abbiamo \( \forall g\in G, \forall x \in X \) risulta \( \phi(g \odot x)=g \otimes \varphi(x) \). Sia \( g \in G \) e \( y \in Y\)
Inoltre \( g \otimes y = g \otimes y \Leftrightarrow \varphi( \varphi^{-1}(g\otimes y))=g \otimes \varphi( \varphi^{-1}(y)) \)
Inoltre visto che \( \varphi \) è un morfismo dei G-insiemi abbiamo che
\( g \otimes \varphi( \varphi^{-1}(y)) = \varphi(g \odot \varphi^{-1}(y)) \)
Dunque \( \varphi^{-1}(g \otimes y) = g \odot \varphi^{-1}(y) \)
La soluzione del prof:
Sia \( g \in G \) e \( x \in X \), dobbiamo dimostrare che \( \varphi^{-1}(gx)=g \varphi^{-1}(x) \)
\( gx = gx \Leftrightarrow \varphi( \varphi^{-1}(gx))=g\varphi( \varphi^{-1}(x)) \)
Inoltre visto che \( \varphi \) è un morfismo dei G-insiemi abbiamo che
\( g\varphi( \varphi^{-1}(x)) = \varphi(g\varphi^{-1}(x)) \)
Dunque \( \varphi^{-1}(gx) = g \varphi^{-1}(x) \)
Ma l'applicazione inversa \( \varphi^{-1} \) non prende \( y \in Y \) ??
Risposte
Le due dimostrazioni sono la stessa. A quella del tuo professore manca solo di correggere $y\in Y$, che è chiaramente una svista di notazione. Quello che fa concludere la dimostrazione, come avrai capito, è che $\varphi$ è iniettiva.
Si, ho capito che sono la stessa, ma mi chiedevo se appunto ero io che sbagliavo oppure lui che aveva fatto una svista dicendo \( x \in X \), anche perché il capitolo sui G-insiemi, orbite, stabilizzatori e azioni non l'ho ben compreso dunque non ero sicurissimo che i miei passaggi fossero corretti.
Grazie mille
Grazie mille
"3m0o":
Si, ho capito che sono la stessa, ma mi chiedevo se appunto ero io che sbagliavo oppure lui che aveva fatto una svista dicendo \( x \in X \), anche perché il capitolo sui G-insiemi, orbite, stabilizzatori e azioni non l'ho ben compreso dunque non ero sicurissimo che i miei passaggi fossero corretti.
Grazie mille
Non è necessaria nessuna nozione di teoria delle rappresentazioni per capire che se una biiezione è \(\varphi : X \to Y\), la sua inversa sarà \(\varphi^{-1} : Y \to X\)
Vero anche questo 
Probabilmente la mia domanda era solo dettata da insicurezza, grazie
Probabilmente la mia domanda era solo dettata da insicurezza, grazie
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