Monoidi: Esercizi

[Neptune2]

Ciao a tutti,
stavo cercando esercizi non troppo dificili sui monoidi che trattassero tra l'altro i sottomonoidi e il gruppo degli elementi invertibili di un monoide ed i morfismi.
Non riesco a trovare molto in rete, me ne basterebbe qualcuno giusto per "applicare un pò le formule", magari con le soluzioni.

Purtroppo io non ho granchè, la professoressa è andata di fretta e praticamente ci ha scritto le formule e due esempi due, io vorrei provare a fare qualche esercizio di mio ma in rete non sto riuscendo a trovare "cose semplici". Anzi diciamo che sui monoidi non sono riuscito a trovare quasi nulla.

Vi ringrazio in anticipo per l'attenzione,
Neptune.

[Neptune2]

Ad esempio stavo svolgendo il seguente esercizio:

Consideriamo $(RR,**)$ con $a**b=ab-a-b+2$
Dimostrare che è un monoide e non un gruppo.

Ho trovato che l'operazione $**$ è associativa, ma non riesco a trovare l'elemento neutro.

[deserto1]

$e=2$ dovrebbe funzionare.

[Neptune2]

Giusto. Avevo provato con $1/a$ e $0$ e $1$, a $2$ non ci ero prorpio arrivato!

Ecco perchè vorrei trovare un pò di esercizi da fare per diventare un pò più elastico nei calcoli.

[deserto1]

Forse non dovevi andare a tentativi, era sufficiente scrivere così: sia $e$ l'elemento neutro, allora
$a**e=a$
D'altra parte si ha: $a**e=ae-a-e+2$
Da cui uguagliando $ae-a-e+2=a$ ti ritrovi $e=2$

[Neptune2]

E come te lo trovi da li che $e=2$?

[deserto1]

$ae-a-e+2=a => ae-e=a+a-2 => e(a-1)=2(a-1) => e=2$ semplificando per $a-1$. Il caso $a=1$ lo si verifica a parte direttamente con $e=2$.