Monoide

[asder83]

Questa è la traccia.
1)
Nel monoide $(N^N, @ )$ delle applicazioni di $N$ in $N$ ( dove $@$ è l'ordinaria operazione di composizione tra applicazioni ) si consideri la parte $F={f in N^N : f $ è biettiva e $f(1)=1}$.
(i) Verificare che $F$ è una parte chiusa di $(N^N,@)$
(ii) Rispetto all'operazione indotta, $F$ è un gruppo?
(iii) Dare un esempio di applicazione non identica $ginF$ e costruirne l'inverso $g^-1 in (F,@)$
(iv) Quante e quali sono le applicazioni $hinF$ tali che $AA x in N\\{2,5}, h(x)=x $ ?

Mi potete aiutare, pur non avendo alcuno svolgimento di questo esercizio ?

[killing_buddha]

(i) non so cosa vuol dire "parte chiusa" senza fare riferimento a una topologia. Però se ho capito il senso (estremamente poco condivisibile) della definizione che forse ti è stata data, la composizione di due f biiettive che fissano 1 è biiettiva e fissa 1, essenzialmente perché $F$ è l'intersezione di due sottoinsiemi di $N^N$ chiusi per composizione.

(ii) Hai mostrato che $F$ è chiuso per composizione. L'identità è biiettiva e fissa 1. Se $f \in F$ allora $f^{-1}\in F$.

(iii) Se $g$ scambia tra loro 0 e 2, e manda in sé stesso ogni altro elemento, $g = g^{-1}$ e ti eviti il fastidio di dover usare più fantasia.

(iv) Una tale $h$ fissa tutto tranne 2 e 5; non può fare molto altro che scambiarli di posto, se vuoi che essa resti biiettiva. Ce n'è dunque solo una.