Moltiplicazioni
Ciao ho un Po di problemi con le regole basilari per moltiplicazioni..
(a1,b1)·(a2,b2) = [a1(1,0) + b1(0,1)]·[a2(1,0) + b2(0,1)] =
a1a2(1,0) + b1b2(0,1)·(0,1) + [a1b2 + b1a2](0,1).
A partire dal secondo (0,1) al secondo rigo le cose non mi sono chiare.. qualcuno me le sa spiegare?
(a1,b1)·(a2,b2) = [a1(1,0) + b1(0,1)]·[a2(1,0) + b2(0,1)] =
a1a2(1,0) + b1b2(0,1)·(0,1) + [a1b2 + b1a2](0,1).
A partire dal secondo (0,1) al secondo rigo le cose non mi sono chiare.. qualcuno me le sa spiegare?
Risposte
Messa così non si capisce "niente" per due motivi. Primo (quello più importante): qual è il contesto? Stiamo moltiplicando cosa? Che sono \( a_{1} \) e \( b_{1} \)? Secondo (quello meno importante ma non per questo trascurabile): scritta così, senza l'uso delle formule, non dico che sia illeggibile ma poco ci manca.
Oddio quelle formule mi sembrano complicatissime, non le so ancora usare, per questo messaggio non potreste adattarvi al modo in cui l'ho scritto, tanto è scritto nella stesso modo nella mia fonte!
Questo è il contesto:
La costruzione dei numeri complessi Vorremmo introdurre su R×R anche un’operazione di moltiplicazione interna, cio`e tra coppie di numeri reali in modo tale da renderlo un campo come R. La prima cosa che pu`o venire in mente `e di considerare la moltiplicazione coordinata per coordinata mimando cos`ı la definizione di somma. Questa non `e tuttavia una buona idea in quanto non soddisferebbe ad esempio alla propriet`a (P8) (si pensi al perch`e). Dobbiamo prendere un’altra strada.
Ricordiamoci che il campo che vogliamo costruire deve contenere R al suo interno. Ora ci sono ovviamente tante rette possibili dentro il piano R×R, scegliamone una, l’asse X, questa vogliamo che sia il vecchio campo R: su di essa somma e moltiplicazione devono essere come sui reali. Quindi si deve avere: (a1,0)·(a2,0) = (a1 ·a2,0). Si noti in particolare che l’elemento (1,0) `e l’elemento neutro della moltiplicazione per i punti della retta X, e quindi deve essere anche l’elemento neutro per la moltiplicazione come operazione su tutto R×R. Prendiamo ora due qualunque elementi e moltiplichiamoli. Se devono valere le varie propriet`a (P1-P8) si deve necessariamente avere: ..... vedi su.
Questo è il contesto:
La costruzione dei numeri complessi Vorremmo introdurre su R×R anche un’operazione di moltiplicazione interna, cio`e tra coppie di numeri reali in modo tale da renderlo un campo come R. La prima cosa che pu`o venire in mente `e di considerare la moltiplicazione coordinata per coordinata mimando cos`ı la definizione di somma. Questa non `e tuttavia una buona idea in quanto non soddisferebbe ad esempio alla propriet`a (P8) (si pensi al perch`e). Dobbiamo prendere un’altra strada.
Ricordiamoci che il campo che vogliamo costruire deve contenere R al suo interno. Ora ci sono ovviamente tante rette possibili dentro il piano R×R, scegliamone una, l’asse X, questa vogliamo che sia il vecchio campo R: su di essa somma e moltiplicazione devono essere come sui reali. Quindi si deve avere: (a1,0)·(a2,0) = (a1 ·a2,0). Si noti in particolare che l’elemento (1,0) `e l’elemento neutro della moltiplicazione per i punti della retta X, e quindi deve essere anche l’elemento neutro per la moltiplicazione come operazione su tutto R×R. Prendiamo ora due qualunque elementi e moltiplichiamoli. Se devono valere le varie propriet`a (P1-P8) si deve necessariamente avere: ..... vedi su.
Guarda, provo ad interpretare (mi pare il prodotto scalare tra due vettori, ma in tal caso ci sono errori).
richiamo il primo messaggio per scrivere (correggendo) come farei io, ma se è o non è così spetta a te dirlo:
Nel caso che fosse veramente il prodotto scalare, (1,0)·(1,0) equivale al prodotto di due versori coincidenti, come anche (0,1)·(0,1) ... mentre (1,0)·(0,1) è il prodotto scalare tra due versori perpendicolari...
richiamo il primo messaggio per scrivere (correggendo) come farei io, ma se è o non è così spetta a te dirlo:
"Lavinia Volpe":
Ciao ho un Po di problemi con le regole basilari per moltiplicazioni..
(a1,b1)·(a2,b2) = [a1(1,0) + b1(0,1)]·[a2(1,0) + b2(0,1)] =
applico la proprietà distributiva:
=a1a2(1,0)·(1,0) + b1b2(0,1)·(0,1) + [a1b2 + b1a2](1,0)·(0,1)
lascio quello che avevi scritto:
a1a2(1,0) + b1b2(0,1)·(0,1) + [a1b2 + b1a2](0,1).
A partire dal secondo (0,1) al secondo rigo le cose non mi sono chiare.. qualcuno me le sa spiegare?
Nel caso che fosse veramente il prodotto scalare, (1,0)·(1,0) equivale al prodotto di due versori coincidenti, come anche (0,1)·(0,1) ... mentre (1,0)·(0,1) è il prodotto scalare tra due versori perpendicolari...
E' scritto quello che ho postato... E poi continua così: L’unica cosa aperta che rimane da decidere `e, a questo punto, quanto fa (0,1)·(0,1). Ci sono molte possibilit`a, la piu` semplice e che ci permette di costruire il campo che volevamo `e scegliere (0,1)·(0,1) =−(1,0). (2.1) Si ottiene cos`ı (a1,b1)·(a2,b2) = [a1a2 −b1b2](1,0) + [a1b2 + b1a2](0,1) o anche, (a1,b1)·(a2,b2) = (a1a2 −b1b2,a1b2 + b1a2). (2.2) Non `e difficile, anche se piuttosto noioso, verificare direttamente a posteriori che questa definizione di moltiplicazione, insieme alla somma definita prima, rende R×R un campo. Esso viene indicato con il simbolo C e chiamato il campo dei numeri complessi.
(Le proprietà a cui si riferisce sono quelle basilari: associativa, elemento neutro, elemento opposto, reciprocità (P8) e distributiva
(Le proprietà a cui si riferisce sono quelle basilari: associativa, elemento neutro, elemento opposto, reciprocità (P8) e distributiva
io non mi ci ritrovo.
ho cercato sul web, ed ho trovato un riferimento a questo forum e un altro file che forse può esserti utile.
ti copio i link:
viewtopic.php?f=26&t=103031
http://www.dm.unibo.it/~regonati/al0304/al040224.pdf
ho cercato sul web, ed ho trovato un riferimento a questo forum e un altro file che forse può esserti utile.
ti copio i link:
viewtopic.php?f=26&t=103031
http://www.dm.unibo.it/~regonati/al0304/al040224.pdf
Un tempo avevo letto qualcosa riguardo alla costruzione dei numeri complessi, mi pare fosse così ...
Iniziava col definire un numero complesso come una coppia ordinata di numeri reali $(a,b)$ e proseguiva nel definire le due operazioni di somma e moltiplicazione in questo modo:
Somma: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Moltiplicazione: $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Si può dimostrare che queste definizioni soddisfano i requisiti di "campo".
Inoltre si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ($x$) e i complessi del formato $(x,0)$; per esempio la moltiplicazioni di due reali $(a,0)*(b,0)$ produce un reale $(ab-0*0,a*0+0*b)=(ab,0)$.
Infine si può dimostrare che ogni complesso $(a,b)$ può essere scritto nella forma $(a,0)+(0,1)*(b,0)$, (è sufficiente osservare che $(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0*b-1*0,0*0+1*b)=(a,0)+(0,1)*(b,0)$); ora se chiamiamo col simbolo $i$ il complesso $(0,1)$ e facciamo corrispondere ad $(a,0)$ e $(b,0)$ i rispettivi reali $a$ e $b$, otteniamo la rappresentazione algebrica dei complessi $(a,b)\ =>\ a+ib$.
Cordialmente, Alex
Iniziava col definire un numero complesso come una coppia ordinata di numeri reali $(a,b)$ e proseguiva nel definire le due operazioni di somma e moltiplicazione in questo modo:
Somma: $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
Moltiplicazione: $(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Si può dimostrare che queste definizioni soddisfano i requisiti di "campo".
Inoltre si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali ($x$) e i complessi del formato $(x,0)$; per esempio la moltiplicazioni di due reali $(a,0)*(b,0)$ produce un reale $(ab-0*0,a*0+0*b)=(ab,0)$.
Infine si può dimostrare che ogni complesso $(a,b)$ può essere scritto nella forma $(a,0)+(0,1)*(b,0)$, (è sufficiente osservare che $(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(0*b-1*0,0*0+1*b)=(a,0)+(0,1)*(b,0)$); ora se chiamiamo col simbolo $i$ il complesso $(0,1)$ e facciamo corrispondere ad $(a,0)$ e $(b,0)$ i rispettivi reali $a$ e $b$, otteniamo la rappresentazione algebrica dei complessi $(a,b)\ =>\ a+ib$.
Cordialmente, Alex
@ Lavinia Volpe
Come è stata trattata la definizione della somma?
Hai modo di linkare tutto il capitolo/paragrafo che tratta dei numeri complessi fin dal principio?
Come è stata trattata la definizione della somma?
Hai modo di linkare tutto il capitolo/paragrafo che tratta dei numeri complessi fin dal principio?
http://calvino.polito.it/~fagnani/AnMat ... si%20I.pdf
"G.D.":
@ Lavinia Volpe
Come è stata trattata la definizione della somma?
Hai modo di linkare tutto il capitolo/paragrafo che tratta dei numeri complessi fin dal principio?
Un capitolo non trecento pagine ... 
... e senza neanche un riferimento ... 
... e senza neanche un riferimento ...
"axpgn":
Un capitolo non trecento pagine ...
Ah, giustamente. E' il secondo capitolo.
Mi pare che nel mio post (lungo) precedente ho sintetizzato quanto scritto nel cap. 2.3 ...
Precisamente, cosa non ti quadra ?
Precisamente, cosa non ti quadra ?
Hai mai sentito parlare dei vettori geometrici, della loro rappresentazione cartesiana e dei versori?
Domani potrei scrivere cosa non ho capito, ma in generale mi è chiaro.
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