Moltiplicazione $K[X]$-modulo

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo sul mio libro che, dato un $K$-spazio vettoriale $V$ e un endomorfismo \(\varphi:V\to V\), tale spazio $V$ diventa un modulo sull'anello di polinomi $K[X]$ se si definisce la moltiplicazione tramite\[K[X]\times V\to V,\quad \Big(\sum a_i X^i,v\Big) \mapsto\sum a_i \varphi^i(v)\]
Ora, se si usa la notazione additiva per l'operazioneche definisce $V$ come gruppo, così come si suole fare per esempio in algebra lineare, bisogna leggere \(\sum a_i \varphi^i(v)=\sum a_i \sum_{j=1}^i \varphi(v)=\sum ia_i\varphi(v)\), vero? In tal caso vedo rispettato l'assioma di modulo \(a\cdot(x+y)=a\cdot x+a\cdot y \). Altre interpretazioni possibili non vedo perché non mi sembra definita alcun'altra operazione $V\times V\to V$.
Giusto?
$\infty$ grazie a tutti!

[Pappappero1]

No...$\phi$ è un endomorfismo di $V$, quindi l'immagine può nuovamente essere data in pasto a $\phi$. In particolare $\phi^n(v)$ è $(\phi \circ ... \circ \phi)(v)$ (composto $n$ volte). Per convenzione (e perché a logica torna) $\phi^0$ e' la mappa identità.

Piu' precisamente, se $\phi$ e' rappresentato (in una certa base) da una matrice quadrata $A$, allora $\phi^n$ è la mappa rappresentata da $A^n$.

[DavideGenova1]

Ri-ri-...-rigrazie!!! Stavo per convincermi di una scemenza...

[killing_buddha]

Quello che stai facendo, implicitamente, e' fattorizzare la tua mappa di azione \(K[x]\times V\to V\) come la composizione \( K[x]\times V\to {\rm End}(V)\times V\to V\): un morfismo di anelli \(K[x]\to {\rm End}(V)\) e' deciso dall'immagine del singolo elemento $x$, a causa della proprieta' universale di \(K[x]\), quindi ci sono esattamente tanti morfismi di anelli $K[x]\to {\rm End}(V)$ quanti elementi di \({\rm End}(V)\): adesso pero' e' facile dedurre quello che tu vuoi: prendi il morfismo (l'unico) che manda $x$ in $\varphi\in End(V)$ e si comporta, per il resto, compatibilmente con la richiesta di essere un morfismo di anelli.

[DavideGenova1]

"killing_buddha":ci sono esattamente tanti morfismi di anelli $K[x]\to {\rm End}(V)$ quanti elementi di \({\rm End}(V)\)

Affascinante, questo fatto...
Ne trovo Trovo sul Bosch un'interessante applicazione di questo fatto nella dimostrazione della teoria delle forme canoniche per endomorfismi $V\to V$...
Però vi si dice che il $K$-spazio vettoriale $V$ si può interpretare come un $K[X]$-modulo che è un modulo di torsione. Ora, se \(\dim_K (V)=1\), la moltiplicazione per un elemento di $K[X]$ come sopra definita è direi sempre equivalente alla moltiplicazione per uno scalare $c\in K$ di ogni $m\in V$ -perché tale è ogni \(\phi\in\text{End}(V)\)-, cioè a $m\mapsto cm$ e quindi, data la natura di campo di $K$, $cm=0_V\Rightarrow (c=0_K \vee m=0_V)$, mi sembrerebbe che $V$ sia un $K[X]$-modulo di torsione se e solo se \(\dim_K (V)\ne 1\)... O sbaglio?
$\infty$ grazie anche a te e a chiunque altro partecipi!!!