Moltiplicazione interna in un'algebra

[bestiedda2]

Buongiorno a tutti

Supponiamo di avere un campo \(\displaystyle \mathbb{K} \) ed un insieme \(\displaystyle A \) con 3 operazioni:
\(\displaystyle +:A \times A \rightarrow A \) e \(\displaystyle *:A \times A \rightarrow A \) che insieme dotano \(\displaystyle A \) della struttura di anello commutativo con unità (quindi la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione), e
\(\displaystyle \cdot : \mathbb{K} \times A \rightarrow A \) che dota \(\displaystyle A \) (assieme all'addizione) della struttura di \(\displaystyle \mathbb{K} \)-spazio vettoriale;

come si sa, se la moltiplicazione \(\displaystyle * \) è lineare in entrambi gli argomenti rispetto alla struttura di spazio vettoriale, allora \(\displaystyle A \) assume la struttura di ALGEBRA associativa e commutativa. Quello che mi chiedo è:

la condizione di bilinearità è equivalente alla seguente:\(\displaystyle \forall \alpha, \beta \in \mathbb{K},(\alpha \cdot 1_A)*(\beta \cdot 1_A) = \alpha \beta \cdot 1_A \) ?? E se no, ci sono condizioni particolari dell'anello per cui sono equivalenti?

Ve lo chiedo perchè il mio professore ha definito in quest'ultimo modo l'algebra su un campo, mentre io dappertutto ho trovato come condizione necessaria la bilinearità del prodotto interno!

Vi ringrazio, buongiorno a tutti

[killing_buddha]

Credo di si', $(\alpha\cdot 1)\star (\beta\cdot 1)=\alpha\cdot(1\star(\beta\cdot 1))=\alpha\cdot(\beta\cdot 1)=(\alpha\beta)\cdot 1$ e $(\alpha a)\star c = \alpha\cdot(1\star a)\star c=\alpha\cdot (1\star(a\star c))=\alpha\cdot(a\star c)$.