Modulo sinistro e destro
Sia $M$ un modulo (sinistro o destro) su un anello $A$.
In Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Modulo_(algebra) trovo che: ``Se l'anello A è commutativo, allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono.''. Ma non capisco .
Il modulo destro e quello sinistro possono coincidere solo se il prodotto esterno commuta, cioè se $av=va \quad \forall a \in A$ e $\forall v \in M$ e se contemporaneamente l'anello $A$ è commutativo cosi che $ (ab)v=a(bv)=a(vb)=(vb)a=v(ba)=v(ab)$ ma in questa catena di uguaglianze è essenziale che gli elementi $a,b$ dell'anello, oltre a commutare tra loro, commutino con $v$. Questo può non essere vero. per esempio:
sia $A$ l'anello delle matrici del tipo :
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
a&b \\
b &a
\end{array}
\right)
\qquad a,b \in \mathbb{R}
\]
che è un sottoanello commutativo di $M(2,\mathbb{R})$ e sia $M$ il modulo (destro o sinistro) su $A$ costituito proprio dagli elementi di $M(2,\mathbb{R})$ (che è un gruppo additivo) con la solita moltiplicazione di matrici come prodotto esterno. Che sia un modulo è ovvio perché il prodotto di matrici è distributivo e associativo, ma siccome gli elementi di $M(2,\mathbb{R})$ non commutano (in generale) con quelli di $A$ i due moduli non coincidono.
Sbaglia Wikipedia oppure c' è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
In Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Modulo_(algebra) trovo che: ``Se l'anello A è commutativo, allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono.''. Ma non capisco .
Il modulo destro e quello sinistro possono coincidere solo se il prodotto esterno commuta, cioè se $av=va \quad \forall a \in A$ e $\forall v \in M$ e se contemporaneamente l'anello $A$ è commutativo cosi che $ (ab)v=a(bv)=a(vb)=(vb)a=v(ba)=v(ab)$ ma in questa catena di uguaglianze è essenziale che gli elementi $a,b$ dell'anello, oltre a commutare tra loro, commutino con $v$. Questo può non essere vero. per esempio:
sia $A$ l'anello delle matrici del tipo :
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
a&b \\
b &a
\end{array}
\right)
\qquad a,b \in \mathbb{R}
\]
che è un sottoanello commutativo di $M(2,\mathbb{R})$ e sia $M$ il modulo (destro o sinistro) su $A$ costituito proprio dagli elementi di $M(2,\mathbb{R})$ (che è un gruppo additivo) con la solita moltiplicazione di matrici come prodotto esterno. Che sia un modulo è ovvio perché il prodotto di matrici è distributivo e associativo, ma siccome gli elementi di $M(2,\mathbb{R})$ non commutano (in generale) con quelli di $A$ i due moduli non coincidono.
Sbaglia Wikipedia oppure c' è qualcosa di sbagliato nel mio ragionamento?
Risposte
Sbagli tu.
Il punto è che se \(\displaystyle M \) è un \(\displaystyle A \)-modulo sinistro allora \(\displaystyle M \) è un \(\displaystyle A^{\mathrm{op}} \)-modulo destro. Siccome, per \(A\) commutativo, risulta che \(\displaystyle A = A^{\mathrm{op}} \) allora ogni modulo sinistro è anche modulo destro.
Nel caso tu non lo sappia o usi notazioni differenti \(\displaystyle A^{\mathrm{op}} \) è l'anello che possiede \(\displaystyle A \) come insieme, con la stessa operazione di somma e con la moltiplicazione invertita (nel senso che \(\displaystyle a\cdot_{\mathrm{op}} b = ba \) dove la seconda moltiplicazione è quella di \(\displaystyle A \)).
Non ho comunque capito il tuo discorso. In ogni caso mi sembra tu stia mettendo dentro bimoduli.
Il punto è che se \(\displaystyle M \) è un \(\displaystyle A \)-modulo sinistro allora \(\displaystyle M \) è un \(\displaystyle A^{\mathrm{op}} \)-modulo destro. Siccome, per \(A\) commutativo, risulta che \(\displaystyle A = A^{\mathrm{op}} \) allora ogni modulo sinistro è anche modulo destro.
Nel caso tu non lo sappia o usi notazioni differenti \(\displaystyle A^{\mathrm{op}} \) è l'anello che possiede \(\displaystyle A \) come insieme, con la stessa operazione di somma e con la moltiplicazione invertita (nel senso che \(\displaystyle a\cdot_{\mathrm{op}} b = ba \) dove la seconda moltiplicazione è quella di \(\displaystyle A \)).
Non ho comunque capito il tuo discorso. In ogni caso mi sembra tu stia mettendo dentro bimoduli.
"vict85":
Il punto è che se M è un A-modulo sinistro allora M è un Aop-modulo destro.
Capisco che ci sono un modulo sinistro e uno destro, ma continuo a non capire perché coincidono.
Forse il punto è proprio l'interpretazione di questa parola.
Provo a ripetere il mio ragionamento:
Sia $M$ un anello non commutativo e $A\subset M$ un suo sottoanello commutativo. Allora possiamo definire due prodotti esterni:
\[
l:A\times M \rightarrow M \quad l(a,v) = av
\]
\[
r:A\times M \rightarrow M \quad r(a,v) = va
\]
dove con $av$ e $va$ intendiamo il prodotto pre-esistente in $M$.
Siccome $(M,+)$ è un gruppo abeliano per la somma, e il prodotto pre-esistente in $M$ è distributivo e associativo, abbiamo, con questi prodotti esterni, un modulo sinistro, che indichiamo con $(A,M,l)$, e un modulo destro $(A,M,r)$. Ora, per dire che questi due coincidono mi aspetto che $l(a,v)=r(a,v) \, \forall a \in A$ e $\forall v \in M$, ma questo non è vero anche se $A$ è commutativo, perché $M$ non lo è.
Oltre all'esempio del post precedente se ne possono costruire a iosa, ad esempio basta porre $M=\mathbb{H}$ (quaternioni) e $A=\mathbb{C}$.
Tra l'altro in quest'ultimo esempio $A$ è un campo e quindi otteniamo uno spazio vettoriale sinistro e uno spazio vettoriale destro che non coincidono?
C'è un errore nel mio ragionamento? Oppure il termine coincidono deve essere interpretato in altro modo?
Vero è che (ad essere ermeneutici) Wikipedia dice che i concetti di modulo destro e sinistro coincidono, ma che differenza ci sarebbe tra la coincidenza dei concetti e la coincidenza dei moduli?
Il problema è che tu consideri destro e sinistro in modo troppo letterale. Destro e sinistro si riferiscono al modo in cui applichi l'elemento. Insomma all'ordine in cui fa le operazioni, se da destra a sinistra o da sinistra a destra.
II problema è proprio che quando faccio l'operazione da destra $av$ il risultato è diverso rispetto a quando la faccio da sinistra $va$. Quindi in che senso la mia interpretazione è troppo letterale?
Il punto è che sono uguali se le funzioni \(A\times M\to M\) e \(M\times A\to M\) sono uguali e se coincidono anche le composizioni. Tu invece consideri azioni diverse. La moltiplicazione per uno scalare non va intesa come una moltiplicazione vera e propria.
Quindi, se ho ben capito, i due moduli $(A,M,l)$ e $(A,M,r)$ del mio post precedente sono effettivamente diversi e ciascuno di loro ha un modulo "coincidente" dal lato opposto: $(A^{op},M,r)$ e $(A^{op},M,l)$ .
E i concetti di modulo destro e sinistro coincidono (per $A$ commutativo) solo se si pone per definizione $av :=va$.
E i concetti di modulo destro e sinistro coincidono (per $A$ commutativo) solo se si pone per definizione $av :=va$.
Si è così.
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