Moduli liberi

[rinaldo901]

salve, avrei una domanda sull'algebra commutativa..
Un modulo libero, ha sempre un sistema di generatori, giusto?
Però non è detto che sia una base, lo è solo se è finitamente generato,
giusto??
e in tal caso, la dimensione è ben determinata, giusto?

Grazie !!!

[mistake89]

Un modulo si dice libero se ha una base.
Se invece la domanda è: Un sistema di generatori minimale è sempre una base? Allora la risposta è no.

Inoltre non è detto che un sistema minimale di generatori (finito) sia una base. Prendi $ZZ$ come $ZZ$-modulo, ha come insieme di generatori minimale ${2,3}$, ma questi non formano una base.

[killing_buddha]

"rinaldo90":salve, avrei una domanda sull'algebra commutativa..
Un modulo libero, ha sempre un sistema di generatori, giusto?
Però non è detto che sia una base, lo è solo se è finitamente generato,
giusto??
e in tal caso, la dimensione è ben determinata, giusto?

Grazie !!!

Cielo, no. Ogni modulo ha almeno un insieme di generatori. Basta prendere il modulo stesso.
Ci sono moduli finitamente generati che non "ammettono una base" (dando a questa locuzione il senso naif); trovane!
I moduli liberi si caratterizzano come quelli per cui esiste un insieme $I$ tale che $M_R\cong R^{(I)}=\oplus_{i\in I}R$. La dimensione pero' non e' ben determinata dal dato della cardinalita' di $I$, perche' esistono anelli che non hanno la IBN (non nel caso commutativo, d'accordo, ma e' utile saperlo).