Moduli come anelli ridotti

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Probabilmente sto capendo male io, ma mi sembra che il mio testo sottintenda che, dati due $R$-moduli $M$ e $N$, dotati di struttura di anello con moltiplicazione, se esiste un monomorfismo \(\varphi:M\to N\) di $R$-moduli e $M$ è ridotto, anche $N$ lo è.
Dato che il monomorfismo è di moduli invece che di anelli, tuttavia, questo fatto, sempre che sia vero, non mi sembra immediato.
Qualcuno sa dirmi qualcosa a riguardo?
Un apparente utilizzo di questa proprietà lo trovo nella dimostrazione di questa proposizione 4, dove, per esempio \(M\otimes_{K}(L\otimes_{K}K')\simeq M\otimes_{K}K'\) è -direi- un isomorfismo di moduli (cioè quello di questa "osservazione 7") piuttosto che di anelli.
Grazie di cuore a tutti!!!

[Leonardo891]

Ho dato una letta veloce alle pagine 285-286.

"DavideGenova":Ciao, amici! Probabilmente sto capendo male io, ma mi sembra che il mio testo sottintenda che, dati due $R$-moduli $M$ e $N$, dotati di struttura di anello con moltiplicazione, se esiste un monomorfismo \(\varphi:M\to N\) di $R$-moduli e $M$ è ridotto, anche $N$ lo è.

Al massimo il testo sembra sottointedere che se $N$ è ridotto anche $M$ lo è, essendovi incluso.
Nel testo, comunque, i tuoi $M$ ed $N$ non sono $R$-moduli qualsiasi ma prodotti tensoriali di campi su campi.
Per modulo ridotto intendi modulo ridotto come anello, no? In tal caso, da qualche parte, il tuo libro dovrebbe aver discusso di come assegnare una struttura di anello al prodotto tensoriale di anelli (o meglio, una struttura di $K$-algebra al prodotto tensoriale di $K$-algebre).

"DavideGenova":Dato che il monomorfismo è di moduli invece che di anelli, tuttavia, questo fatto, sempre che sia vero, non mi sembra immediato.
Qualcuno sa dirmi qualcosa a riguardo?
Un apparente utilizzo di questa proprietà lo trovo nella dimostrazione di questa proposizione 4, dove, per esempio \(M\otimes_{K}(L\otimes_{K}K')\simeq M\otimes_{K}K'\) è -direi- un isomorfismo di moduli (cioè quello di questa "osservazione 7") piuttosto che di anelli.

Azzarderei che potrebbe bastare l'iniettività, ma non sono sicuro.
Prendi con le molle tutto quello che ho detto in questa risposta, comunque.

Il problema è che non ho sotto mano il libro intero e, comunque, non lo conosco come te, non ci ho studiato sopra.
Sarebbe più facile risponderti se tu isolassi di più la domanda rendendola più leggibile per chi non ha studiato su quel libro.

Piuttosto, stai provando a svolgere gli esercizi proposti dal libro?
A parte l'ovvia importanza degli esercizi nello studio della matematica, la risposta alla tua domanda potrebbe stare proprio negli esercizi o, in ogni caso, provare a risolverli potrebbe farti venire in mente le idee giuste per risponderti da solo.

[Pappappero1]

Ma questa cosa non è vera. Prendiamo il modulo $M=\RR [x]$ $/(x^2)$ (come $\ZZ$-modulo, o come $\RR$-spazio vettoriale, poco importa). La mappa che manda $\RR \to M$ mandando $r$ in $rx$ è una mappa di moduli (ma non di anelli). Tuttavia $\RR$ è chiaramente ridotto ma l'immagine è interamente composta di elementi nilpotenti.

Ho tuttavia l'impressione che la definizione di modulo ridotto (che non trovo), si porti dietro qualche ipotesi in più.

[Leonardo891]

"Pappappero":Ho tuttavia l'impressione che la definizione di modulo ridotto (che non trovo), si porti dietro qualche ipotesi in più.

Io ho trovato questo, (pagina 2 del pdf) ma ho l'impressione che l'ipotesi in più che serve è il fatto che si sta parlando di prodotti tensoriali di campi su campi (di quale caratteristica, per giunta?).

[DavideGenova1]

"Leonardo89":Nel testo, comunque, i tuoi $M$ ed $N$ non sono $R$-moduli qualsiasi ma prodotti tensoriali di campi su campi.
Per modulo ridotto intendi modulo ridotto come anello, no?

Sì, sì, scusate, intendevo parlare di moduli su cui è possibile definire strutture di anello ridotto: il Bosch definisce un anello $A$ ridotto se il nilradicale \(\text{rad} A:=\{z\in A:\exists n\in\mathbb{N}:z^n=0\}\) coincide con \(\{0\}\), cioè se l'unico elemento nilpotente è 0.

"Leonardo89":Al massimo il testo sembra sottointedere che se $N$ è ridotto anche $M$ lo è, essendovi incluso.

Per dimostrare che \(M\otimes_{L}R\) è un anello ridotto non mi sarebbe troppo difficile interpretare \(M\otimes_{L}R\to \prod_{j\in J} (M\otimes_{L}Q_j)\) come un'inclusione, ma dobbiamo vedere l'isomorfismo (di $K'$-moduli, no? si tratta del risultato su cui mi ha aiutato recentemente) \(M\otimes_{L}R\simeq M\otimes_{K}K'\) come una uguaglianza di anelli?

"Leonardo89":il tuo libro dovrebbe aver discusso di come assegnare una struttura di anello al prodotto tensoriale di anelli (o meglio, una struttura di $K$-algebra al prodotto tensoriale di $K$-algebre).

Certo, sì, è per questo che non mi sorprende la struttura di anello di tali prodotti tensoriali: in pratica per ogni elemento \(\sum_{i=1}^r c_i\otimes d_i\) di un prodotto tensoriale con struttura di $K$-algebra, di tipo diciamo \(M\otimes_{K}L\), si moltiplica per un tensore \(a\otimes b\) dando \((a\otimes b)\cdot\sum_{i=1}^r c_i\otimes d_i=\sum_{i=1}^r (ac_i)\otimes (bd_i)\).
Tuttavia il $K'$-isomorfismo \(M\otimes_{L}R\simeq M\otimes_{K}K'\), stando alla dimostrazione dell'esistenza di esso fornita dal mio libro, non mi sentirei autorizzato a considerarlo un isomorfismo di $K'$-algebre...
Mi chiedo se esistano condizioni che rendono un isomorfismo di moduli un isomorfismo di algebre, di anelli...

"Leonardo89":Sarebbe più facile risponderti se tu isolassi di più la domanda rendendola più leggibile per chi non ha studiato su quel libro.

Mi sembrerebbe chiaro che, se il prodotto di elementi del codominio di un monomorfismo di anelli deve avere un fattore nullo per essere nullo e se tali elementi hanno ognuno una controimmagine nel dominio, allora il prodotto delle controimmagini deve avere un fattore nullo, detto terra terra. Per esempio se \(\varphi:A\to A'\) è un monomorfismo di anelli e $A'$ è un dominio di integrità, anche $A$ direi che lo sia e se $A'$ è ridotto anche $A$ direi che lo sia.
Se si tratta di monomorfismi di moduli, su cui è comunque possibile definire strutture di anelli, di algebre, allora le cose cambiano. Ovviamente un omomorfismo di moduli tra insiemi che possono essere considerati anelli non è anche in generale un omomorfismo di anelli.
Tuttavia anche per esempio qui:

il mio testo utilizza, per passare dalla prima riga della sequenza di isomorfismi alla seconda, di nuovo un isomorfismo direi di \(K[\mathfrak{X}]_S\)-moduli. Quindi da dove salterà fuori che \(L\otimes_{K}K'\) sia isomorfo come anello ad un sottoanello di \(K'(\mathfrak{X})\)...?
Sarà mica che l'isomorfismo di \(R''\)-moduli \((x\otimes a')\otimes a''\mapsto x\otimes (a' a'')\) di cui, Leonardo, mi hai aiutato a comprendere la dimostrazione valga anche come isomorfismo di anelli se \((M\otimes_{R}R')\otimes_{R'}R''\) e \(M\otimes_{R}R''\) possiedono una struttura di anello? In tal caso, mi sarei aspettato che, nell'enunciarlo, il libro l'avesse detto...
In quanto agli altri passaggi della sequenza di isomorfismi, so per certo da un precedente lemma del libro che, dalla seconda alla terza riga, \(K[\mathfrak{X}]\otimes_{K} K'\) è isomorfo a \(K'[\mathfrak{X}]\) attraverso un isomorfismo di $K$-algebre.
Riguardo il passaggio dalla penultima all'ultima riga, so che esiste l'isomorfismo di $K$-moduli \( K'[\mathfrak{X}]\otimes_{K}K[\mathfrak{X}]_S\simeq K'[\mathfrak{X}]_S,f\otimes\frac{g}{s}\mapsto \frac{fg}{s}\): sarà anche un isomorfismo di anelli? In tal caso, di nuovo, mi stupirei che il testo non l'abbia detto...

"Leonardo89":Piuttosto, stai provando a svolgere gli esercizi proposti dal libro?

Certo, certo, è la parte più accattivante! Peccato che non ci siano però le soluzioni così che da una parte rischio di convincermi della correttezza dell'utilizzo di qualche risultato che credo di essermi dimostrato da solo e poi mi si rivela scorretto e dall'altra parte non ho la possibilità di imparare a risolvere quelli che non riesco da solo a fare. Mi sa che il mio prossimo libro di algebra lo cercherò con esercizi e anche soluzioni, se ne esistono.

"Leonardo89":A parte l'ovvia importanza degli esercizi nello studio della matematica, la risposta alla tua domanda potrebbe stare proprio negli esercizi o, in ogni caso, provare a risolverli potrebbe farti venire in mente le idee giuste per risponderti da solo.

A riguardo di questo mi pare proprio di non aver trovato nulla negli esercizi del capitolo sui prodotti tensoriali, che credo di essere riuscito a risolvere....

$\infty$ grazie a tutti!!!!!

[DavideGenova1]

...spero di non spararla grossa. Cerco di andare cauto con le mie interpretazioni personali tentando di non interiorizzare come verità matematiche ipotesi che mi costruisco nella mia autodidaché, ma sto cominciando a pensare che il genere di omomorfismi iniettivi usati, per esempio quello di \(R''\)-moduli, descritto nei dettagli qui, così definito dalle immagini sui tensori\[(M\otimes_{R}R')\otimes_{R'}R''\simeq M\otimes_{R}R'',\quad (x\otimes a')\otimes a''\mapsto x\otimes(a'a'')\]e anche per esempio l'isomorfismo di $R$-moduli (con $S\subset R$ sistema moltiplicativo e $R_S$ localizzazione rispetto ad esso) \[M\otimes_{R}R_S\simeq M_S,\quad x\otimes\frac{a}{s}\mapsto \frac{ax}{s}\]nonostante il mio testo li dimostri solo come omomorfismi di moduli, se $M$ è anch'esso un anello commutativo e sui prodotti tensoriali in questione si definisce attraverso \((a\otimes b)\cdot(c\otimes d):=(ac)\otimes(bd)\) una struttura di anello, siano anche omomorfismi di anelli, dato che questi omomorfismi di moduli -chiamiamoli $\phi$- sono tali che \(\varphi((a\otimes b)\cdot(c\otimes d))=\varphi(a\otimes b)\varphi(c\otimes d)\) sui tensori e quindi, essendo lineari, mi pare che siano moltiplicativi su tutto il dominio, per come si definisce appunto il prodotto di anello all'interno del prodotto tensoriale con struttura di algebra: o do i numeri?
Se così fosse, direi di aver risolto l'inghippo. Mi auguro che, però, non mi stia facendo un'idea sbagliata...
\(\aleph_1\) grazie a tutti!!!

[Leonardo891]

"DavideGenova":se $M$ è anch'esso un anello commutativo e sui prodotti tensoriali in questione si definisce attraverso \((a\otimes b)\cdot(c\otimes d):=(ac)\otimes(bd)\) una struttura di anello, siano anche omomorfismi di anelli, dato che questi omomorfismi di moduli -chiamiamoli $\phi$- sono tali che \(\varphi((a\otimes b)\cdot(c\otimes d))=\varphi(a\otimes b)\varphi(c\otimes d)\) sui tensori e quindi, essendo lineari, mi pare che siano moltiplicativi su tutto il dominio, per come si definisce appunto il prodotto di anello all'interno del prodotto tensoriale con struttura di algebra: o do i numeri?

Potrebbe essere così. Potrebbe anche darsi che invece di anelli si debba parlare di algebre su qualche campo. Non ne sono sicuro, però.
Il problema è che, a meno che qui in giro non ci siano persone che hanno studiato su quel libro o, comunque, che hanno studiato argomenti quasi identici, è difficile che tu abbia risposte.
Per risponderti con una qualche sicurezza uno dovrebbe mettersi a fare tutti i controlli necessari cioè, in poche parole, uno dovrebbe studiarsi una buona parte del tuo libro. Ciò che dici nell'ultimo post ha senso ma i prodotti tensore (come ho personalmente imparato) sono estremamente infidi e subdoli, le fregature sono dietro l'angolo.
Se pensi di aver trovato una soluzione, fai tutti i controlli necessari, senza dare per scontato niente, e verifica se hai ragione. Tu sei quello che si trova nella posizione migliore per poterlo fare.
Valuta anche se vale la pena di fermarsi per un sacco di tempo su un mero punto tecnico che non hai capito. La matematica non si impara linearmente. Vai avanti, se proprio non trovi la soluzione. Può darsi che, tra qualche mese, rileggendo il punto ora oscuro alla luce di nuove conoscenza, la soluzione ti venga in mente in modo quasi automatico.

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, Leonardo, per le tue osservazioni sulla questione e anche i tuoi consigli di carattere generale! In effetti, anche da dimostrazioni successive in cui continuo a vedere per esempio \((M\otimes_{R}R')\otimes_{R'}R''\xrightarrow{\sim}M\otimes_{R}R'',(x\otimes a')\otimes a''\mapsto x\otimes(a'a'')\) usato per dimostrare risultati che mi tornerebbero immediatamente se fosse un omomorfismo di anelli (nella dimostrazione della proposizione 11 qui si usa il fatto che \(psi\circ\varphi\) è un omomorfismo di anelli, che preserva il prodotto, quindi mi sembrebbe un po' strano se non si pensasse che anche il primo omomorfismo della catena in fondo a p. 289, l'isomorfismo, sia un omomorfismo di anelli...), mi sto convincendo sempre più che lo si possa interpretare come tale, nelle condizioni che ho specificato nel mio ultimo messaggio del thread...