Moduli
Sia $n in ZZ$ un numero pari. Dimostrare che ogni divisore primo $q$ di $n^(2)+1$ soddisfa $q$$\equiv$ $1(mod4)$.
Se non sbaglio dobbiamo partire da $n^(2)+1$$\equiv$$0(modq)$ per arrivare appunto a $q$$\equiv$ $1(mod4)$. Solo che mi rimane difficile capire il modo in cui poter cambiare il modulo. Stavo procendo così ma poi mi sono bloccata:
$n^(2)$$\equiv$$-1(modq)$
$n^(4)$$\equiv$$1(modq)$
Infatti penso che anche se ciò sia giusto non mi porterà mai da nessuna parte...
!potete darmi qualche indizio per favore..?grazie mille....
Se non sbaglio dobbiamo partire da $n^(2)+1$$\equiv$$0(modq)$ per arrivare appunto a $q$$\equiv$ $1(mod4)$. Solo che mi rimane difficile capire il modo in cui poter cambiare il modulo. Stavo procendo così ma poi mi sono bloccata:
$n^(2)$$\equiv$$-1(modq)$
$n^(4)$$\equiv$$1(modq)$
Infatti penso che anche se ciò sia giusto non mi porterà mai da nessuna parte...
!potete darmi qualche indizio per favore..?grazie mille....
Risposte
Il ragionamento mio è il seguente:
N è pari. Dunque o è congruo a 0 mod 4, o è congro a 2 mod 4.
Ora ti spiego anche perchè.
Se è divisibile per 4 è sicuramente congruo a 0 mod 4 perchè la divisione con il resto genera un resto nullo.
Se è divisibile per 2 è congruo dobbiamo verificare.
Sappiamo che 2 è congruo a 2 mod 4.
Questo implica che se io ho un numero N = 2*K è congruo a 2 mod 4 o a 0 mod 4.
Proviamo per casi. Sappiamo che il prodotto di due classi resto equivale alla classe resto del prodotto tra i due numeri.
Quindi se io ho 2*K, la classe resto di 2*K è la classe resto data del prodotto tra le classi resto di 2 e di K.
Ora suppongo K congruo a 0 mod 4.
$2*K = 2*0 = 0$ ---> siamo al caso precedente, poichè un numero pari divisibile per 4 (poichè se K è congruo a 0 allora è divisibile per 4) darà congruenza 0
Se k congruo a 1 mod 4.
$2*K = 2*1 = 2$ ---> è congruo a 2 mod 4.
Se k congruo a 2 mod 4.
$2*k = 2*2 = 4 = 0$ ---> è congruo a 0 mod 4 (l'elemento 2 appartenente al gruppo modulo 4 ha ordine 2)
Se k congruo a 3 mod 4.
$2*K = 2*3 = 6 = 2$ ---> è congruo a 2 mod 4.
Dimostrato questo per casi, sappiamo che qualsiasi numero pari è o congruo a 2 o congruo a 4 mod 4 dunque andiamo ad analizzare questo esercizio per casi.
Suppongo N congruo a 0 mod 4.
So che $n^2 + 1$ sarà congruo a 1 mod 4 poichè n è congruo a 0, dunque il suo quadrato è congruo a 0 e la somma di 0 ed 1 (1 è intendibile come classe resto 1) dà 1.
Dunque q divide $n^2 + 1$ ed è primo, dunque divide $n^2$ e divide 1.
Siccome che $n^2 = 0$ q divide $n^2$ poichè lo zero è divisibile per qualsiasi numero.
Però deve dividere 1. Per farlo deve essere congruo a 1. Infatti cercando un divisore della classe resto 1 stiamo cercando l'elemento inverso di 1 che ci permetta di avere l'elemento neutro. Ora, in teoria dei gruppi, il gruppo degli elementi invertibili moltiplicativo delle classi resto di 4 è solo {1, 3} e l'elemento inverso di 1 è sè stesso.
Dunque q deve essere congruo a 1 mod 4.
Andiamo al caso n congruo a 2 mod 4 che si risolve nella stessa maniera.
N è pari. Dunque o è congruo a 0 mod 4, o è congro a 2 mod 4.
Ora ti spiego anche perchè.
Se è divisibile per 4 è sicuramente congruo a 0 mod 4 perchè la divisione con il resto genera un resto nullo.
Se è divisibile per 2 è congruo dobbiamo verificare.
Sappiamo che 2 è congruo a 2 mod 4.
Questo implica che se io ho un numero N = 2*K è congruo a 2 mod 4 o a 0 mod 4.
Proviamo per casi. Sappiamo che il prodotto di due classi resto equivale alla classe resto del prodotto tra i due numeri.
Quindi se io ho 2*K, la classe resto di 2*K è la classe resto data del prodotto tra le classi resto di 2 e di K.
Ora suppongo K congruo a 0 mod 4.
$2*K = 2*0 = 0$ ---> siamo al caso precedente, poichè un numero pari divisibile per 4 (poichè se K è congruo a 0 allora è divisibile per 4) darà congruenza 0
Se k congruo a 1 mod 4.
$2*K = 2*1 = 2$ ---> è congruo a 2 mod 4.
Se k congruo a 2 mod 4.
$2*k = 2*2 = 4 = 0$ ---> è congruo a 0 mod 4 (l'elemento 2 appartenente al gruppo modulo 4 ha ordine 2)
Se k congruo a 3 mod 4.
$2*K = 2*3 = 6 = 2$ ---> è congruo a 2 mod 4.
Dimostrato questo per casi, sappiamo che qualsiasi numero pari è o congruo a 2 o congruo a 4 mod 4 dunque andiamo ad analizzare questo esercizio per casi.
Suppongo N congruo a 0 mod 4.
So che $n^2 + 1$ sarà congruo a 1 mod 4 poichè n è congruo a 0, dunque il suo quadrato è congruo a 0 e la somma di 0 ed 1 (1 è intendibile come classe resto 1) dà 1.
Dunque q divide $n^2 + 1$ ed è primo, dunque divide $n^2$ e divide 1.
Siccome che $n^2 = 0$ q divide $n^2$ poichè lo zero è divisibile per qualsiasi numero.
Però deve dividere 1. Per farlo deve essere congruo a 1. Infatti cercando un divisore della classe resto 1 stiamo cercando l'elemento inverso di 1 che ci permetta di avere l'elemento neutro. Ora, in teoria dei gruppi, il gruppo degli elementi invertibili moltiplicativo delle classi resto di 4 è solo {1, 3} e l'elemento inverso di 1 è sè stesso.
Dunque q deve essere congruo a 1 mod 4.
Andiamo al caso n congruo a 2 mod 4 che si risolve nella stessa maniera.
Grazie @Simonixx. Questa notte mi è venuta questa idea:
$n^(2)+1$$\equiv$$0(modq)$
$n^(2)$$\equiv$$-1(modq)$
$n^(4)$$\equiv$$1(modq)$
Per Lagrange: ord$(x)| |G|$ e quindi: $4|q-1$
$q-1$$\equiv$$0(mod4)$
$q$$\equiv$$1(mod4)$
Che ne dici?
$n^(2)+1$$\equiv$$0(modq)$
$n^(2)$$\equiv$$-1(modq)$
$n^(4)$$\equiv$$1(modq)$
Per Lagrange: ord$(x)| |G|$ e quindi: $4|q-1$
$q-1$$\equiv$$0(mod4)$
$q$$\equiv$$1(mod4)$
Che ne dici?
Perché complicarsi la vita?
$n$ è pari, quindi $n=2k$
$q|n^2+1$ quindi $q|(2k)^2+1$
quindi...
$n$ è pari, quindi $n=2k$
$q|n^2+1$ quindi $q|(2k)^2+1$
quindi...
Ma scusa mica mi sono complicata la vita...è tanto semplice e breve il mio ragionamento...
Un altro punto di vista è che, dato un primo q diverso da 2 è sempre congruo a 1 o a 3 modulo 4 (poichè è dispari)
Esempio: 5 è congruo a 1, 7 è congruo 3.
Ora per esclusione dico che non può essere congruo a 3 modulo 4 poichè sennò non dividerebbe quella somma, non dividendo 1.
Esempio: 5 è congruo a 1, 7 è congruo 3.
Ora per esclusione dico che non può essere congruo a 3 modulo 4 poichè sennò non dividerebbe quella somma, non dividendo 1.
"melli13":
Ma scusa mica mi sono complicata la vita...è tanto semplice e breve il mio ragionamento...
Diciamo solo che il mio è ancora più semplice, e non scomoda Lagrange.
Ok....grazie mille a entrambi...
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