Mistero

[Principe2]

è possibile trovare un campo ordinato completo che ha $RR$ come sottocampo proprio?

in particolare è possibile che il completamento dei reali non standard sia ancora un ancora un campo ordinato, questa volta completo?

[zorn1]

Scusa, ma al secondo ordine $RR$ non è l'unico campo ordinato completo a meno di isomorfismi? In questo caso che senso ha chiederselo?

[TomSawyer1]

E' l'unico campo archimedeo ordinato e completo a meno di isomorfismi. Penso che ubermensch intenda tralasciare la proprieta' archimedea.

[Principe2]

"TomSawyer":E' l'unico campo archimedeo ordinato e completo a meno di isomorfismi. Penso che ubermensch intenda tralasciare la proprieta' archimedea.

dunque si utilizza la proprietà archimedea per dimostrare l'esistenza dell'isomorfismo?

per cui non ci sarebbe niente di troppo strano se il il "completamento" di *$RR$ è un campo ordinato completo?

[TomSawyer1]

http://planetmath.org/encyclopedia/RealNumber.html

La sezione "The complete ordered field" chiarisce alcuni punti, in particolare sull'uso dell'aggettivo "archimedeo" nella descrizione dei reali. (Si scopre che dipende dalla costruzione che si adotta.)

[Principe2]

ok.. gli darò un'occhiata... nel frattempo cito un teorema che ho trovato in giro

Ogni campo completo è archimedeo.

[Karl1]

Mistero aritmetico
Ho trovato una strana regolarità nei fattoriali di molti numeri primi che non riesco a provare,ma allo stesso tempo non ho ancora trovato controesempio:
"Se n è un numero primo allora: (n-1)!=nq-1."Con q appartenente ad N.Che ne pensate?

[zorn1]

"ubermensch":ok.. gli darò un'occhiata... nel frattempo cito un teorema che ho trovato in giro

Ogni campo completo è archimedeo.

Sì, dipende dal fatto che un campo ordinato K è archimedeo se e solo se $NN$ non è superiormente limitato in K.
Allora, se per assurdo $NN$ fosse superiormente limitato in K completo, sarebbe non vuoto l'insieme M dei maggioranti di $NN$, ed esisterebbe per la completezza sup$NN = min M = b$. Essendo $b-1b-1$ da cui $k+1>b ^^ k+1 in NN$, assurdo perché $b$ è maggiorante di $NN$.

Un'altra carina è: un campo ordinato completo non è numerabile.

[Principe2]

@karl: quello è il teorema di Wilson e vale anche il viceversa: $n$ è primo se e solo se esiste $q$ tale che $(n-1)!=nq-1$ ... ma non ho capito cosa c'entra con questa discussione ...

tornando a noi, mi pare che a proposito di misteri qui ce ne sia un altro ...
Si prenda un semigruppo abeliano ordinato: significa che abbiamo un insieme con una operazione di somma commutativa, associativa, continua rispetto alla topologia indotta dall'ordine, che ha un elemento neutro che è contemporaneamente il minimo dell'insieme (si pensi agli interi non negativi, oppure ai razionali non negativi eccetera). Su questo semigruppo si aggiungano le ipotesi di completezza dell'ordine e che ogni punto sia di accumulazione. Bene... sembra proprio che questo insieme a priori arbitrario debba essere isomorfo con i reali non-negativi.

Sembra=non l'ho dimostrato, ma mi pare molto plausibile ...

opinioni? conferme? smentite? ...