Mini-paradosso

[Fregior]

Scusate, ma mi è venuto un dubbio

$1/(1+1/(1+1/(1+1/...)))$

che prosegue all'infinito, quanto vale?


Anche se penso che sicuramente sarà già stato trattato quindi mi scuso se la sezione non è corretta.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Osserva che se chiami [tex]x[/tex] quel numero allora hai che [tex]\frac{1}{1+x}=x[/tex].

Nel frattempo sposto in algebra.

[gugo82]

A quanto detto da Martino aggiungo: ricorda che il numero che cerchi è positivo.

Ad ogni modo, non vedo il paradosso, quindi non riesco a spiegarmi il titolo del thread.


P.S.: Tra l'altro non mi ero mai letto nulla sulle frazioni continue (che trovo molto scomode come rappresentazioni), ma sembrano divertenti.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

[mod="Martino"]Fregior, perché hai cancellato tutto? Non avresti dovuto farlo. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]La domanda dell'utente riguardava il valore dell'espressione [tex]\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}[/tex].

[gugo82]

Che succecede?

Hai cancellato per colpa mia?
Se è così, sappi che non intendemo minimamente criticare il thread; piuttosto la mia era curiosità, perchè non riuscivo a capire perchè trovassi paradossale una frazione continua...

[Fregior]

Oddio, scusate stamattina invece di cliccare su risposta devo aver cliccato su modifica.
Si vede che era presto...
Scusatemi
Ho recuperato il testo dalla cache

[lorenzo_ktm]

Scrivendo la frazione con una successione bottom-up (come suggerito da martino):

$ X(n+1)=1/(1+X(n)) $

partendo per esempio da X(0)=0

si scopre che è legata alla successione di fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, etc..)

$ X(n)=(F(n))/(F(n+1)) $

dove F(n) è l'n-esimo termine della succ. di Fibonacci

EDIT: avevo fatto un disastro a scrivere le successioni

PS: ho anche una dimostrazione molto semplice

[gugo82]

Beh, [tex]$F(n+1)=F(n-1)+F(n)$[/tex], quindi:

[tex]$1=\frac{F(n-1)}{F(n)}\ \frac{F(n)}{F(n+1)}+\frac{F(n)}{F(n+1)}=\frac{F(n)}{F(n+1)} \left( 1+\frac{F(n-1)}{F(n)}\right)$[/tex],

da cui la relazione voluta semplicemente ponendo [tex]$X(n)=\tfrac{F(n-1)}{F(n)}$[/tex].

Questa successione ha proprietà interessanti: infatti ha le estratte di posto pari e dispari monotone, l'una limitata dall'altra, e convergenti allo stesso limite.

[lorenzo_ktm]

Esatto e $ X(0)=(F(0))/(F(1))=0 $

altrimenti si potrebbe dimostrare che $ X(n)=(F(n+k))/(F(n+1+k)) $

ma solo per k=0 si rispettano le condizioni iniziali.

Concordo ha proprietà davvero interessanti

[Ulyx3s]

In altre parole riprendendo la proposta di Martino se chiamiamo il valore finale x:

$ 1/(x+1)=x $

e da una equazione di secondo grado si ottiene

$ x=(-1 pm sqrt(5))/2 $
che è riconducibile alla sezione aurea..