Mi serve questo lemma condizionato

[Stellinelm]

Mi serve conseguire questo lemma sotto la condizione che la congettura forte di Goldbach sia vera.
Lemma 1.
"Sia $d$ un intero dispari $>3$ e $p_i$ , per $i=1,2,..,k$ i numeri primi $ sottrazioni :
$d-(p_1+1)$
$d-(p_2+1)$
..............
$d-(p_k+1)$
e/o delle seguenti :
$d-(p_1-1)$
$d-(p_2-1)$
..............
$d-(p_k-1)$
ha come differenza un numero primo.

Volevo chiedervi :
1) La dimostrazione mi sembra ovvia , è necessaria farla ugualmente?
Se si , mi aiutate ad impostarla bene perchè se la faccio da sola potrebbe essere diciamo un pò confusa
2) Riguardo l'enunciato del lemma1, dicendo le sottrazioni da $d>3$ di tutti i primi $
Grazie

[Zero87]

"Stellinelm":1) La dimostrazione mi sembra ovvia , è necessaria farla ugualmente?
Se si , mi aiutate ad impostarla bene perchè se la faccio da sola potrebbe essere diciamo un pò confusa

Diciamo che se vuoi farci qualcosa, è meglio che ci sia anche se puoi cavartela con frasi tipo "it simply follows by assuming Goldbach conjecture".

Vedi se ti piace questa formalizzazione.

Lemma 1 (Stellinelm)
Sia $d>3$ un intero dispari. Sia inoltre $k\in {1,...,n}$ tale che $p_k$ al variare di $k$ rappresenti tutti i primi minori di $d$.
Allora, assumendo la congettura di Goldbach, esiste almeno un indice $\bar{k}$ tale che $d-(p_{\bar{k}}-1)$ sia un numero primo.
Dimostrazione
Per ogni $k$
$d-(p_k -1)=(d+1)-p_k$.
Poiché $d$ è dispari, allora $d+1$ è pari e quindi assumendo la congettura di Goldbach esiste (almeno) una coppia di primi $p,q$ tali che
$d+1=p+q$.
Poiché $p,q
Osservazione
Ovviamente se $p$ e $q$ sono diversi, ne esistono 2 per cui vale quanto detto.

"Stellinelm":2) Riguardo l'enunciato del lemma1, dicendo le sottrazioni da $d>3$ di tutti i primi $
Si capisce, ma secondo me è meglio una forma un pochino più stringata (ho imparato che i matematici non amano chi si dilunga troppo ). Se ti piace come l'ho scritto sopra, prendi pure.


EDIT
Avevo scritto $d-1$ invece di $d+1$ ma non cambia nulla perché - l'ho aggiunto tra parentesi - se $d+1$ è pari esistono 2 numeri primi certamente minori di $d$ tali che la loro somma è $d+1$... Sempre ammessa come vera la congettura di Goldbach.

[Stellinelm]

I couldn't ask for more... Thanks Zero87

p.s. :
1)perchè su $\bar{k}$ c'è il trattino , è probabile che non so trascriverlo in world
2) il secondo caso equivalente lo formalizzo, dunque, cosi :

Sia $ d>3 $ un intero dispari. Sia inoltre $ k\in {1,...,n} $ tale che $ p_k $ al variare di $ k $ rappresenti tutti i primi minori di $ d $.
Allora, assumendo la congettura di Goldbach, esiste almeno un indice $ \bar{k} $ tale che $ d-(p_{\bar{k}}+1) $ sia un numero primo.
Dimostrazione
Per ogni $ k $
$ d-(p_k +1)=(d+1)-p_k $.
Poiché $ d $ è dispari, allora $ d+1 $ è pari e quindi assumendo la congettura di Goldbach esiste (almeno) una coppia di primi $ p,q $ tali che $ d+1=p+q $.
Poiché $ p,q$ per definizione, allora esisterà un indice $ \bar{k} $ tale che $ p=p_{\bar{k}} $.

Osservazione
Ovviamente se $ p $ e $ q $ sono diversi, ne esistono 2 per cui vale quanto detto.

[Zero87]

"Stellinelm":1)perchè su $\bar{k}$ c'è il trattino , è probabile che non so trascriverlo in world

Se hai word 2007 vai tranquilla, premi "alt+shift+=" per aprire l'editor di equazioni e la barra si trova: se non la trovi sul menu (sta sul menu a tendina che si apre cliccando su "accento" o una cosa simile) basta "\bar(...)" oppure il \bar lo metti dopo e premendo 2 volte barra spaziatrice ti include quello che va dentro se sta scritto prima (non mi fidavo molto di quest'altra procedura però).

La scelta $\bar{k}$ si utilizza in genere quando fissi un indice a scelta tra i vari $k$. Anche per la $x$ si utilizza non di rado $\bar{x}$ anche se in quel caso è più comune $x_0$.

Comunque mi sono accorto di un piccolo errore di segno (che non cambia il resto), ma che correggo appena ho scritto questo post.

Per il secondo caso attenzione (ho corretto un piccolo errore nel post sopra).

Quando fai $d-(p+1)$ hai $(d-1)-p$ mentre fai $d-(p-1)$ hai $(d+1)-p$: m'aveva fregato il meno fuori dalla parentesi ma me ne sono accorto.
Comunque le dimostrazioni sono uguali salvo (l'ho corretta) la prima che quando hai $(d+1)-p$ devi aggiungere che la coppia di Goldbach è tale che entrambi i primi sono certamente minori di $d$ in quanto il primo più piccolo è il 2 (quindi se $p,q

Cita

Segnala

[Stellinelm]

Ok , al limite imposto una struttura simile alla tua cambiando l'indice $k$ oppure vado in calcio d'angolo usando
"it simply follows by assuming Goldbach conjecture"

[Zero87]

"Stellinelm":Ok , al limite imposto una struttura simile alla tua cambiando l'indice $k$ oppure vado in calcio d'angolo usando
"it simply follows by assuming Goldbach conjecture"

Quoto per il calcio d'angolo perché, oltre che è elegante ed utilizzato per cose intuitive, è abbastanza semplice come dimostrazione (poi, dalla serie, se l'ho dimostrata io è alla portata di tutti ).

[Stellinelm]