Mi correggereste questo esercizio su sistemi di congruenze?
Ciao,
come da topic sto provando a risolvere alcuni esercizi, ma non essendo presenti soluzioni già svolte non so capire se sto procedendo bene, sareste così gentili da controllare (probabilmente ho scritto una vagonata di vaccate ma almeno una volta preso lo schiaffo posso capire come procedere..)?
ho il seguente sistema formato da 2 congruenze lineari:
$ 5x -= 40 (mod 10)$
$ x -= 50 (mod 7) $
Verifico la prima, il MCD(5,10) = 5 = d, se d | b allora la congruenza ammette d soluzioni,
Tramite l'algoritmo delle divisioni successive
ottengo (esplicando i resti) (si scrive così giusto??
)
$ 5 = 10(0) + 5 $
che vado a moltiplicare per b/d = 8 , ottenendo quindi
$ 40 = 5 (8) $
quindi la prima soluzione di x è 8 , le altre soluzioni sono: $8 + (n/d)*h$ con $ h in ZZ $
devo risolvere ora la seconda congruenza, sostituisco alla x della seconda congruenza $8 + (n/d)*h$
e ottengo la seguente congruenza:
$ 2h -= 42 (mod 7) $
verifico il MCD(2,7) , se divide 42 allora ammette soluzioni congrue altrimenti nada,
essendo come risultato 1 dividerà 42,
procedo sempre con le divisioni successive , esplico i resti e risalgo l'equazione con le dovute (non so se è giusto il termine dato che non so se ho capito bene...) sostituzione ed ottengo:
$ 42 = 7(42) + 2(-126) $
quindi il primo risultato di h è - 126, le altre soluzioni sono nell'ordine $h + (n/d)k$ con $ k in ZZ $
è corretto come ragionamento??
come da topic sto provando a risolvere alcuni esercizi, ma non essendo presenti soluzioni già svolte non so capire se sto procedendo bene, sareste così gentili da controllare (probabilmente ho scritto una vagonata di vaccate ma almeno una volta preso lo schiaffo posso capire come procedere..)?
ho il seguente sistema formato da 2 congruenze lineari:
$ 5x -= 40 (mod 10)$
$ x -= 50 (mod 7) $
Verifico la prima, il MCD(5,10) = 5 = d, se d | b allora la congruenza ammette d soluzioni,
Tramite l'algoritmo delle divisioni successive
ottengo (esplicando i resti) (si scrive così giusto??
)$ 5 = 10(0) + 5 $
che vado a moltiplicare per b/d = 8 , ottenendo quindi
$ 40 = 5 (8) $
quindi la prima soluzione di x è 8 , le altre soluzioni sono: $8 + (n/d)*h$ con $ h in ZZ $
devo risolvere ora la seconda congruenza, sostituisco alla x della seconda congruenza $8 + (n/d)*h$
e ottengo la seguente congruenza:
$ 2h -= 42 (mod 7) $
verifico il MCD(2,7) , se divide 42 allora ammette soluzioni congrue altrimenti nada,
essendo come risultato 1 dividerà 42,
procedo sempre con le divisioni successive , esplico i resti e risalgo l'equazione con le dovute (non so se è giusto il termine dato che non so se ho capito bene...) sostituzione ed ottengo:
$ 42 = 7(42) + 2(-126) $
quindi il primo risultato di h è - 126, le altre soluzioni sono nell'ordine $h + (n/d)k$ con $ k in ZZ $
è corretto come ragionamento??
Risposte
Relativamente alla prima congruenza algebrica mi sembra corretto, anche se potresti esplicitare il valore della $x$... Nella seconda parte invece mi son perso: perchè è $2h-=42_(mod 7)$?
Siccome $40$ è congruo a $0$ modulo $10$,
l'equazione $ 5x -= 40(\text{mod } 10)$ è equivalente a $5x-= 0 (\text{mod } 10)$, cioè a $x-= 0 (\text{mod } 2)$
L'ultimo passaggio è giustificato da questo:
$5x-= 0 (\text{mod } 10) <=> 5x= 10k <=> 5(x-2k)=0 <=> x-2k=0 <=> x= 2k <=> x-= 0 (\text{mod } 2)$
(ovviamente $k$ è un opportuno numero intero)
l'equazione $ 5x -= 40(\text{mod } 10)$ è equivalente a $5x-= 0 (\text{mod } 10)$, cioè a $x-= 0 (\text{mod } 2)$
L'ultimo passaggio è giustificato da questo:
$5x-= 0 (\text{mod } 10) <=> 5x= 10k <=> 5(x-2k)=0 <=> x-2k=0 <=> x= 2k <=> x-= 0 (\text{mod } 2)$
(ovviamente $k$ è un opportuno numero intero)
Che stupido, hai ragione. Avevo sbagliato a semplificare la prima congruenza algebrica.... da $5x-=40_(mod 10)$ l'avevo "trasformata" in $x-=8_(mod 5)$ invece di $x-=8_(mod 2)$
Ovviamente il resto è una conseguenza dell'errore che avevo fatto
Scusate
Ovviamente il resto è una conseguenza dell'errore che avevo fatto
Scusate
Tranquillo Gundam, capita a tutti di sbagliare 
Aggiungo una cosa per nrush: anche la seconda equazione si può semplificare:
$x-=50(mod 7)$ è equivalente a $x-=1 (mod 7)$
Aggiungo una cosa per nrush: anche la seconda equazione si può semplificare:
$x-=50(mod 7)$ è equivalente a $x-=1 (mod 7)$
scusa, non ho capito, è corretto quello che ho fatto?? 
Si. Per riepilogare l'esercizio lo puoi risolvere velocemente in questo modo:
$\{(5x-=40_(mod 10)),(x-=50_(mod 7)):}$ che è equivalente a (scrivi perché) $\{(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$
Dalla prima equazione si ha $2|x-0 => EEk in ZZ$ tale che $x=2k$; sostituendo $x$ nella seconda equazione si ha $2k-=1_(mod 7)$, il cui inverso moltiplicativo è $7|2k-1 => EEh in ZZ$ tale che $2k-1=7h$ e $2k-7h=1$ che ha soluzione per $k=4 ^^ h=1$, quindi $2k-=1_(mod 7)$ diventa $k-=4_(mod 7)$, $7|k-4 => EEt in ZZ$ tale che $k-4=7t$, $k=4+7t$ che sono le soluzione del sistema in oggetto.
$\{(5x-=40_(mod 10)),(x-=50_(mod 7)):}$ che è equivalente a (scrivi perché) $\{(x-=0_(mod 2)),(x-=1_(mod 7)):}$
Dalla prima equazione si ha $2|x-0 => EEk in ZZ$ tale che $x=2k$; sostituendo $x$ nella seconda equazione si ha $2k-=1_(mod 7)$, il cui inverso moltiplicativo è $7|2k-1 => EEh in ZZ$ tale che $2k-1=7h$ e $2k-7h=1$ che ha soluzione per $k=4 ^^ h=1$, quindi $2k-=1_(mod 7)$ diventa $k-=4_(mod 7)$, $7|k-4 => EEt in ZZ$ tale che $k-4=7t$, $k=4+7t$ che sono le soluzione del sistema in oggetto.
"nrush":No.
scusa, non ho capito, è corretto quello che ho fatto??
Prima di tutto ti saresti dovuto accorgere che le due equazioni si semplificavano.
In secondo luogo, l'equazione $2h-=_7 42$ a cui sei arrivato (non ho capito bene come) è equivalente a $2h-=_7 0$. Dire questo ti evita di fare calcoloni con numeri alti. (Tieni presente che $\text{algebra} \quad <=> \quad \text{fare meno calcoli possibili}$)
Infine, quando scrivi $8+(n/d)k$ e $h+(n/d)k$, perchè non sostituisci $n$ e $d$ con i corrispondenti numeri?
In sintesi, hai fatto solo calcoli macchinosi (tipo un robot), e non hai effettuato le doverose semplificazioni e sostituzioni.
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