Metodo Tableaux
Ciao a tutti, sto affrontando l'argomento del tableaux in logica proposizionale ma non riesco a capire una cosa, se ho un'espressione logica esempio:
$ (( P_1 rArr P_2 ) rArr P_1) rArr P_1 $
Come faccio a vedere se è soddisfacibile usando appunto i tableaux?
Grazie mille per la disponibilità
$ (( P_1 rArr P_2 ) rArr P_1) rArr P_1 $
Come faccio a vedere se è soddisfacibile usando appunto i tableaux?
Grazie mille per la disponibilità
Risposte
Nessuno che mi può aiutare?
Se ho capito bene: inizia col supporre che \(\displaystyle P_1\) sia vera!
Mi scuso con Armando se intervengo, ma mi sono divertito a creare una tabella, così mi esercito anch'io su cose che sto studiando in questo periodo. Spero di non dire scemenze e di venire corretto se lo faccio.
Sotto alle colonne relative ad ogni formula atomica della proposizione in esame ricopi i valori di verità dalle colonne a sinistra e quindi sotto ogni operatore logico segni il valore di verità della sottoformula ben formata corrispondente, tenendo in questo caso conto del fatto che $\varphi\Rightarrow \psi$ è falsa se e solo $\varphi$ è vera e $\psi$ è falsa (e ovviamente vera negli altri casi). Cioè, per la prima implicazione, quella tra due formule atomiche, hai:
Quindi
Perciò ottengo che
Sotto alle colonne relative ad ogni formula atomica della proposizione in esame ricopi i valori di verità dalle colonne a sinistra e quindi sotto ogni operatore logico segni il valore di verità della sottoformula ben formata corrispondente, tenendo in questo caso conto del fatto che $\varphi\Rightarrow \psi$ è falsa se e solo $\varphi$ è vera e $\psi$ è falsa (e ovviamente vera negli altri casi). Cioè, per la prima implicazione, quella tra due formule atomiche, hai:
| \(P_1\) | \(P_2\) | \(((P_1\) | \(\Rightarrow\) | \(P_2)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | ||
| V | F | F | V | V | F | V | ||
| V | V | F | F | F | F | F |
| \(P_1\) | \(P_2\) | \(((P_1\) | \(\Rightarrow\) | \(P_2)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | |
| V | F | F | V | V | V | F | V | |
| V | V | F | F | F | F | F | F |
Perciò ottengo che
| \(P_1\) | \(P_2\) | \(((P_1\) | \(\Rightarrow\) | \(P_2)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1)\) | \(\Rightarrow\) | \(P_1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | V | V | V | F | V |
| V | V | F | F | V | F | F | F | F |
Quindi, da quanto leggi sotto l'operatore relativo alla formula ben formata più grande, cioè la proposizione di cui vuoi verificare i valori di verità, osservi che essa è sempre vera.
Ciao e buon anno a tutti!
Ciao a tutti, grazie per le vostre risposte però l'esercizio mi chiede di risolverlo mediante tableaux e non quello "tabellare"
Ah, scusa, credevo che i tableaux fossero tableaux de vérité... 
Si tratta, vedo googlando, di ciò che conosco come alberi di refutazione... Quindi direi che, per accertare che sia una tautologia, devi verificare se ogni cammino aperto della negazione della proposizione in questione si chiuda (numero a sinistra le righe), cioè se sia una contraddizione logica:
1 \(\lnot (((P_1\Rightarrow P_2)\Rightarrow P_1)\Rightarrow P_1)\)
2 \((P_1\Rightarrow P_2)\Rightarrow P_1\) - ho applicato \(\lnot\Rightarrow\) a 1
3 \(\lnot P_1\) - ho applicato \(\lnot\Rightarrow\) a 1
4 ramo sinistro: \(\lnot (P_1\Rightarrow P_2)\); ramo destro: \(P_1\) - applicato \(\Rightarrow\) a 2
5 ramo sinistro: \(P_1\) - applicato \(\lnot\Rightarrow\) a ramo sinistro della riga 4; ramo destro: chiuso per contraddizione con riga 3
6 \(\lnot P_2\) - applicato \(\lnot\Rightarrow\) a ramo sinistro riga 4
7 anche questo ramo chiuso per contraddizione con riga 3
dove intendo per \(\lnot\Rightarrow\) la regola per cui \(\lnot(\phi\Rightarrow\psi)\) equivale a \(\phi\) e \(\lnot\psi\) su ogni cammino in cui \(\lnot(\phi\Rightarrow\psi)\) compare; invece \(\lnot\Rightarrow\) è la regola per cui in presenza di \(\phi\Rightarrow\psi\) lungo un cammino si segna al suo termine una biforcazione (corrispondente ad una disgiunzione logica) del cammino scrivendo su un ramo \(\lnot\phi\) e sull'altro \(\psi\), infatti \(\phi\Rightarrow\psi\) equivale a \(\lnot\phi\lor\psi\).
Si tratta, vedo googlando, di ciò che conosco come alberi di refutazione... Quindi direi che, per accertare che sia una tautologia, devi verificare se ogni cammino aperto della negazione della proposizione in questione si chiuda (numero a sinistra le righe), cioè se sia una contraddizione logica:
1 \(\lnot (((P_1\Rightarrow P_2)\Rightarrow P_1)\Rightarrow P_1)\)
2 \((P_1\Rightarrow P_2)\Rightarrow P_1\) - ho applicato \(\lnot\Rightarrow\) a 1
3 \(\lnot P_1\) - ho applicato \(\lnot\Rightarrow\) a 1
4 ramo sinistro: \(\lnot (P_1\Rightarrow P_2)\); ramo destro: \(P_1\) - applicato \(\Rightarrow\) a 2
5 ramo sinistro: \(P_1\) - applicato \(\lnot\Rightarrow\) a ramo sinistro della riga 4; ramo destro: chiuso per contraddizione con riga 3
6 \(\lnot P_2\) - applicato \(\lnot\Rightarrow\) a ramo sinistro riga 4
7 anche questo ramo chiuso per contraddizione con riga 3
dove intendo per \(\lnot\Rightarrow\) la regola per cui \(\lnot(\phi\Rightarrow\psi)\) equivale a \(\phi\) e \(\lnot\psi\) su ogni cammino in cui \(\lnot(\phi\Rightarrow\psi)\) compare; invece \(\lnot\Rightarrow\) è la regola per cui in presenza di \(\phi\Rightarrow\psi\) lungo un cammino si segna al suo termine una biforcazione (corrispondente ad una disgiunzione logica) del cammino scrivendo su un ramo \(\lnot\phi\) e sull'altro \(\psi\), infatti \(\phi\Rightarrow\psi\) equivale a \(\lnot\phi\lor\psi\).
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