Metodo "immediato" per trovare l'ord degli element
Dato il gruppo G(11) devo determinarne l'ordine dei suoi elementi in modo da individuare gli elementi primitivi.
Allora per ogni elemento devo trovarmi il numero $m$ t.c. $x^m=1$ e in linea di principio dovrei provare con tutti gli m da 1 a 10.
Dunque esiste una procedura più breve per fare questa cosa anziché mettermi a provare tutti i numeri?
Allora per ogni elemento devo trovarmi il numero $m$ t.c. $x^m=1$ e in linea di principio dovrei provare con tutti gli m da 1 a 10.
Dunque esiste una procedura più breve per fare questa cosa anziché mettermi a provare tutti i numeri?
Risposte
Ma per $G(11)$ cosa intendi?!
"Lorin":intendo: ${0, 1, 2, 3, ..., 10}$ con moltiplicazione e addizione entrambe modulo 11
Ma per $G(11)$ cosa intendi?!
Ho capito. Quindi stiamo parlando del gruppo $(ZZ_11,+)$. Beh se non ricordo male gli elementi che generavano il gruppo erano i coprimi con l'ordine del gruppo.
L'ordine di un elemento deve dividere l'ordine del gruppo. Dal noto th. di Lagrange.
Perciò in generale non ti serve provare per tutti gli interi, ma solo per quelli che dividono l'ordine del gruppo.
In paticolare gli unici divisori di $11$ sono $1$ ed $11$, essendo $11$ irriducibile, e quindi gli elementi avranno ordine $1$ o $11$; ma ordine $1$ spetta alla sola unità e quindi tutti gli altri elementi hanno ordine $11$.
Ci si poteva arrivare anche calcolando $phi(11)=10$ volendo.
Perciò in generale non ti serve provare per tutti gli interi, ma solo per quelli che dividono l'ordine del gruppo.
In paticolare gli unici divisori di $11$ sono $1$ ed $11$, essendo $11$ irriducibile, e quindi gli elementi avranno ordine $1$ o $11$; ma ordine $1$ spetta alla sola unità e quindi tutti gli altri elementi hanno ordine $11$.
Ci si poteva arrivare anche calcolando $phi(11)=10$ volendo.
mhm... scusa ma non mi torna. Come ho detto le operazioni sono modulo 11. La soluzione dell'esercizio è qui
http://www.commsys.isy.liu.se/TSDT16/le ... -hints.pdf
e mi riferisco al numero 2 (2.4)
http://www.commsys.isy.liu.se/TSDT16/le ... -hints.pdf
e mi riferisco al numero 2 (2.4)
Io li leggo $GF(11)$ che mi pare sia il campo di Galois. Mi sa che è diverso da $ZZ_11$
"Lorin":C'è un errore la traccia dice G che immagino intenda $Z_11$. Comunque non è Galois
Io li leggo $GF(11)$ che mi pare sia il campo di Galois. Mi sa che è diverso da $ZZ_11$
The prime field with 11 elements GF(11) can be defined by the addition and multiplication tables defined as follows
Il mio inglese è pessimo, ma penso ci sia scritto "il primo campo con 11 elementi GF(11)...."
Scusami la precisazione, ma secondo me una cosa è parlare di gruppi una cosa è parlare di campi ^^
Credo che si parli di campi nel PDF che hai linkato.
"mistake89":Esattamente.
Credo che si parli di campi nel PDF che hai linkato.
Scusatemi mi sono accorto di aver scritto gruppo nella traccia invece era campo. Azzero tutto quello che ho detto
Quello che vorrei sapere è come si trova l'ordine degli elementi di un CAMPO ($G(11)$ è il campo ${1, 2,3,..10}$ con le 2 operazioni mostrate nel pdf), senza andare avanti per tentativi..
raff5184 guarda che stai facendo un pochino di confusione..
primo: l'insieme [tex]$\left\{ 1,2, \dots , 10 \right\}$[/tex] ha dieci elementi, non undici.
secondo: cosa vuol dire "ordine di un elemento di un campo" ?
non ha senso, la notazione di ordine ha senso solo in un gruppo.
perciò puoi vedere il campo [tex]$\mathbb{F}$[/tex] (parliamo di campo finito) come gruppo additivo, il cui neutro è lo [tex]$0$[/tex] ma allora l'unica possibilità è che lo [tex]$0$[/tex] stesso abbia ordine 1, e tutti gli altri elementi abbiano ordine [tex]$p$[/tex], cardinalità del nostro [tex]$\mathbb{F}$[/tex] (e quindi [tex]$p$[/tex] è un primo).
oppure puoi parlare del gruppo moltiplicativo [tex]$\mathbb{F}^*$[/tex] che allora ha [tex]$p-1$[/tex] elementi (tutti tranne lo [tex]$0$[/tex], e quindi l'ordine dei suoi elementi divide [tex]$p-1$[/tex]. e trovare l'ordine è difficile, negli [tex]$\mathbb{Z}_p$[/tex] spesso l'unica è forza bruta, o a volte trucchi intelligenti, ma io non conosco un metodo risolutivo generale.
primo: l'insieme [tex]$\left\{ 1,2, \dots , 10 \right\}$[/tex] ha dieci elementi, non undici.
secondo: cosa vuol dire "ordine di un elemento di un campo" ?
non ha senso, la notazione di ordine ha senso solo in un gruppo.
perciò puoi vedere il campo [tex]$\mathbb{F}$[/tex] (parliamo di campo finito) come gruppo additivo, il cui neutro è lo [tex]$0$[/tex] ma allora l'unica possibilità è che lo [tex]$0$[/tex] stesso abbia ordine 1, e tutti gli altri elementi abbiano ordine [tex]$p$[/tex], cardinalità del nostro [tex]$\mathbb{F}$[/tex] (e quindi [tex]$p$[/tex] è un primo).
oppure puoi parlare del gruppo moltiplicativo [tex]$\mathbb{F}^*$[/tex] che allora ha [tex]$p-1$[/tex] elementi (tutti tranne lo [tex]$0$[/tex], e quindi l'ordine dei suoi elementi divide [tex]$p-1$[/tex]. e trovare l'ordine è difficile, negli [tex]$\mathbb{Z}_p$[/tex] spesso l'unica è forza bruta, o a volte trucchi intelligenti, ma io non conosco un metodo risolutivo generale.
Avevo dimenticato lo $0$. Riporto la traccia presa dal libro:
construct the prime field G(11). Find all primitive elements and determine the orders of the elements.
Soluzione 2 (2.4)
http://www.commsys.isy.liu.se/TSDT16/le ... -hints.pdf
come si calcolano i numeri nell'ultima tabellina?
construct the prime field G(11). Find all primitive elements and determine the orders of the elements.
Soluzione 2 (2.4)
http://www.commsys.isy.liu.se/TSDT16/le ... -hints.pdf
come si calcolano i numeri nell'ultima tabellina?
Ad esempio, mostriamo che [tex]$\text{o}(3)=5$[/tex] con qualche conticino: sfruttando la seconda tabella troviamo:
[tex]$3^1=3$[/tex]
[tex]$3^2=3\cdot 3=9$[/tex]
[tex]$3^3 =3^2\cdot 3=9\cdot 3=5$[/tex]
[tex]$3^4= 3^3\cdot 3=5\cdot 3=4$[/tex]
[tex]$3^5=3^4\cdot 3=4\cdot 3=1$[/tex]
come volevamo (difatti l'ordine [tex]$\text{o}(n)$[/tex] è il più piccolo intero positivo tale che [tex]$n^{\text{o}(n)}=1$[/tex], ossia [tex]$\text{o} (n)=\min \{ k\in \mathbb{Z}^+:\ n^k=1\}$[/tex]).
Ovviamente [tex]$\text{o}(n) =\text{card} (\langle n\rangle )$[/tex], ove [tex]$\langle n\rangle$[/tex] è il sottogruppo di [tex]$(\mathbb{GF}(11)^\star ,\cdot )$[/tex] generato da [tex]$n$[/tex]; ora si dà il caso che [tex]$\text{card} (\mathbb{GF} (11)^\star)=10$[/tex] (poiché sono invertibili tutti gli elementi di [tex]$\mathbb{GF} (11)$[/tex], eccezion fatta per [tex]$0$[/tex]), sicché [tex]$\text{o}(n)$[/tex] ha da essere per ogni [tex]$n\in \mathbb{GF} (11)^\star$[/tex] un divisore di [tex]$10$[/tex] (per il teorema di Lagrange).
Questo fatto restringe il campo dei possibili valori di [tex]$\text{o}(n)$[/tex] a quattro numeri, ossia [tex]$1,\ 2,\ 5,\ 10$[/tex], quindi basta fare un po' di conti.
Inoltre, puoi tenere presente che in un gruppo finito commutativo, esiste almeno un elemento di ordine [tex]$d$[/tex] per ogni divisore [tex]$d$[/tex] dell'ordine del gruppo, quindi nel caso in esame devi riuscire a trovare almeno un elemento di [tex]$\mathbb{GF} (11)^\star$[/tex] di ordine [tex]$d=1$[/tex], almeno uno di ordine [tex]$d=2$[/tex] e lo stesso per [tex]$d=5$[/tex] e [tex]$d=10$[/tex].
[tex]$3^1=3$[/tex]
[tex]$3^2=3\cdot 3=9$[/tex]
[tex]$3^3 =3^2\cdot 3=9\cdot 3=5$[/tex]
[tex]$3^4= 3^3\cdot 3=5\cdot 3=4$[/tex]
[tex]$3^5=3^4\cdot 3=4\cdot 3=1$[/tex]
come volevamo (difatti l'ordine [tex]$\text{o}(n)$[/tex] è il più piccolo intero positivo tale che [tex]$n^{\text{o}(n)}=1$[/tex], ossia [tex]$\text{o} (n)=\min \{ k\in \mathbb{Z}^+:\ n^k=1\}$[/tex]).
Ovviamente [tex]$\text{o}(n) =\text{card} (\langle n\rangle )$[/tex], ove [tex]$\langle n\rangle$[/tex] è il sottogruppo di [tex]$(\mathbb{GF}(11)^\star ,\cdot )$[/tex] generato da [tex]$n$[/tex]; ora si dà il caso che [tex]$\text{card} (\mathbb{GF} (11)^\star)=10$[/tex] (poiché sono invertibili tutti gli elementi di [tex]$\mathbb{GF} (11)$[/tex], eccezion fatta per [tex]$0$[/tex]), sicché [tex]$\text{o}(n)$[/tex] ha da essere per ogni [tex]$n\in \mathbb{GF} (11)^\star$[/tex] un divisore di [tex]$10$[/tex] (per il teorema di Lagrange).
Questo fatto restringe il campo dei possibili valori di [tex]$\text{o}(n)$[/tex] a quattro numeri, ossia [tex]$1,\ 2,\ 5,\ 10$[/tex], quindi basta fare un po' di conti.
Inoltre, puoi tenere presente che in un gruppo finito commutativo, esiste almeno un elemento di ordine [tex]$d$[/tex] per ogni divisore [tex]$d$[/tex] dell'ordine del gruppo, quindi nel caso in esame devi riuscire a trovare almeno un elemento di [tex]$\mathbb{GF} (11)^\star$[/tex] di ordine [tex]$d=1$[/tex], almeno uno di ordine [tex]$d=2$[/tex] e lo stesso per [tex]$d=5$[/tex] e [tex]$d=10$[/tex].
Dai miei ricordi di algebra 1, ti dico che seguivo più o meno il ragionamento postato da gugo, ma ricordo anche che dopo un pò di tempo mi veniva automatico capire o avvicinarmi a capire l'ordine degli elementi in un gruppo. E' questione di pratica inizialmente...
"gugo82":
devi riuscire a trovare almeno un elemento di [tex]$\mathbb{GF} (11)^\star$[/tex] di ordine [tex]$d=1$[/tex], almeno uno di ordine [tex]$d=2$[/tex]...
piccola osservazione: le soluzioni di [tex]$x^n-1=0$[/tex] in un campo sono al più [tex]$n$[/tex], anche questo può aiutare a volte.
in particolare, c'è uno e un solo elemento che ha ordine [tex]$1$[/tex], e questo era scontato.
ma c'è anche sempre uno e un solo elemento, diverso da [tex]$1$[/tex] che risolve [tex]$x^2=1$[/tex], ed è proprio [tex]$-1$[/tex]
e altre osservazioni analoghe che possono aiutare.
"gugo82":questo era un punto importante solo che non abbiamo studiato tutto in modo cosi approfondito.
Questo fatto restringe il campo dei possibili valori di [tex]$\text{o}(n)$[/tex] a quattro numeri, ossia [tex]$1,\ 2,\ 5,\ 10$[/tex], quindi basta fare un po' di conti.
Grazie a tutti per le risposte e scusate la confusione iniziale
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