Metodo di Induzione
Vi pongo questi (credo) semplici quesiti:
Dimostrare per induzione che [tex]3^n[/tex] [tex]>[/tex] [tex]n^3[/tex] per [tex]n\ge 4[/tex] con [tex]n \in[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
Dimostrare per induzione che [tex]4^n[/tex] [tex]>[/tex] [tex]n^4[/tex] per [tex]n\ge 5[/tex] con [tex]n \in[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
Ho provato a procedere sfruttando la dimostrazione che già ho per [tex]2^n[/tex][tex]>[/tex][tex]n^2[/tex] ma non sono comunque riuscito a venirne a capo. Credo di essere riuscito a dimostrare la prima delle 2 ma, procedendo con la seconda sfruttando lo stesso metodo della prima mi sono accorto che la dimostrazione che avevo fatto per il primo era verificata solo per una casualità e la seconda dimostrazione non mi è riuscita. Come devo procedere per entrambe?
Spero di non aver sbagliato sezione non essendo io molto ferrato in questi argomenti.
Dimostrare per induzione che [tex]3^n[/tex] [tex]>[/tex] [tex]n^3[/tex] per [tex]n\ge 4[/tex] con [tex]n \in[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
Dimostrare per induzione che [tex]4^n[/tex] [tex]>[/tex] [tex]n^4[/tex] per [tex]n\ge 5[/tex] con [tex]n \in[/tex] [tex]\mathbb{N}[/tex]
Ho provato a procedere sfruttando la dimostrazione che già ho per [tex]2^n[/tex][tex]>[/tex][tex]n^2[/tex] ma non sono comunque riuscito a venirne a capo. Credo di essere riuscito a dimostrare la prima delle 2 ma, procedendo con la seconda sfruttando lo stesso metodo della prima mi sono accorto che la dimostrazione che avevo fatto per il primo era verificata solo per una casualità e la seconda dimostrazione non mi è riuscita. Come devo procedere per entrambe?
Spero di non aver sbagliato sezione non essendo io molto ferrato in questi argomenti.
Risposte
ti faccio notare che $ (4)^(n)=((2)^(n))^(2) $
"ankia_89":
ti faccio notare che $ (4)^(n)=((2)^(n))^(2) $
Ok, ma lo deve fare per induzione però... questa è una dimostrazione diretta.
Hai cominciato con i casi base? Io li salto.
[tex](n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1[/tex]
D'altra parte vale [tex]n^3 - 3n^2 - 3n - 1 > 0[/tex] infatti
[tex]n^3 - 3n^2 - 3n - 1 = n^2(n - 3) - 3n - 1 \ge n^2 - 3n - 1 = n(n-3) - 1 \ge n - 1 \ge 3[/tex]
Quindi [tex](n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 < 2n^3 < 3 3^{n} = 3^{n+1}[/tex] dove nell'ultimo passaggio ho usato l'ipotesi induttiva. Il 4 lo puoi fare anche tu da solo.
[EDIT] errore corretto... Non so come mi siano usciti quei 3...
Ti ringrazio davvero molto per l'aiuto
ma non capisco come mai $ (n+1)^3=n^3+6*n^2+6*n+1 $
ma non capisco come mai $ (n+1)^3=n^3+6*n^2+6*n+1 $
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_notevole Semplicemente ho usato il prodotto notevole e tenuto conto che $1^2 = 1$
Ma $(n+1)^3 = (n+1)*(n+1)^2 = (n+1)*(n^2+2n+1) = n^3+2n^2+n+n^2+2n+1 = n^3+3n^2+3n+1$
no?
no?
"Arkas000":
Ma $(n+1)^3 = (n+1)*(n+1)^2 = (n+1)*(n^2+2n+1) = n^3+2n^2+n+n^2+2n+1 = n^3+3n^2+3n+1$
no?
ok... non so da dove mi sono usciti i 6... comunque penso che con piccole modifiche si possa mettere tutto a posto...Adesso edito...
Ok, grazie 1000 vict85 
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