Metodo dell'iperbola di Dirichlet

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Sia \( r(n) = \# \{ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 : a^2+b^2=n \} \). Dimostra che
\[ \sum_{n \leq x } r(n) = \pi x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

Io farei in questo modo (il prof ha suggerito di utilizzare il metodo dell'iperbola di Dirichlet) solo che non so calcolare questo integrale:
\[I(x):= \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\{ \xi \} \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi \]
Dove \( \{ \xi \} \) è la parte frazionaria di \( \xi \).
Se come ho fatto io è corretto dovrei ottenere che l'integrale qui sopra vale \( I(x) =x - \frac{\pi}{8} x + \sqrt{x} \).

Così come ho fatto:

Chiamiamo \(r_+(n) = \#\{(a,b) \in \mathbb{N}^2 : a^2+b^2 = n \} \) allora \( r(n)=4 r_+(n) \) siccome data la coppia \( (a,b) \in \mathbb{N}^2 \) che soddisfa \( a^2+b^2 = n \) allora anche \( (-a,b),(a,-b) ,(-a,-b) \) soddisfano quell'equazione.
\[ \sum_{n \leq x } r(n) = 4 \sum_{n \leq x} r_+(n) = 4 \sum_{a^2+b^2\leq x ; (a,b) \in \mathbb{N}^2} 1 \]
Calcoliamo dunque per \((a,b) \in \mathbb{N}^2 \)
\[ \sum_{a^2+b^2\leq x } 1 = \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sum_{a^2+b^2\leq x} 1 + \sum_{b \leq \sqrt{x} } \sum_{a^2+b^2 \leq x} 1 - \sum_{a \leq \sqrt{x}, b \leq \sqrt{x}} 1 =2 \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sum_{a^2+b^2 \leq x} 1 - \sum_{a \leq \sqrt{x}, b \leq \sqrt{x}} 1 \]

Abbiamo che
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x}; b \leq \sqrt{x} } 1 = \left( \sum_{a \leq \sqrt{x} } 1 \right)^2 = \left( \sqrt{x} + \mathcal{O}(1) \right)^2 = x+2\sqrt{x}\mathcal{O}(1) + \mathcal{O}(1 )^2 = x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

Mentre
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sum_{a^2+b^2 \leq x} 1= \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sum_{b \leq \sqrt{x - a^2}} 1 = \sum_{a \leq \sqrt{x} } \left( \sqrt{x-a^2} + \mathcal{O}(1) \right) = \mathcal{O}(\sqrt{x}) + \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sqrt{x-a^2} \]

Non saprei come calcolare troppo bene
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sqrt{x-a^2} \]
Forse con la formula di Eulero-McLaurin? So che \( f(a):= \sqrt{x-a^2} \) è una funzione \( \mathcal{C}^1 ([0,\sqrt{x}] \). Dunque
\[ \sum_{0 Dove \( \psi(\xi)=\{\xi\} - 1/2 \) e dove \( \{ \xi \} \) è la parte frazionaria di \( \xi \).

E ottengo dunque
\[ \psi(0) \sqrt{x-0^2} - \psi(\sqrt{x})\sqrt{x-x}= - \frac{1}{2} \sqrt{x} \]
Ora wolfram mi dice che
\[ \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi = \left[ \frac{1}{2} \left( \xi \sqrt{x-\xi^2} + \xi \tan^{-1} \left( \frac{\xi}{\sqrt{x-\xi^2}} \right) \right) \right]_{0}^{\sqrt{x}}= - \frac{x}{2} \]

Mentre
\[ \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\psi(\xi) \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi = \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\{ \xi \} \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi - \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\xi}{2\sqrt{x-\xi^2}}d\xi \]
Dunque
\[ \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\xi}{2\sqrt{x-\xi^2}}d\xi = \frac{1}{2} \sqrt{x} \]

Mentre non so calcolare
\[ \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\{ \xi \} \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi =: I(x) \]
E dovrei ottenere dunque
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sqrt{x-a^2}= \sqrt{x} + \sum_{0
Dunque
\[ \sum_{n \leq x} r_+(n) = 2\sqrt{x} - x- 2I(x) -x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) = 2 \sqrt{x} -2x - 2I(x) +\mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

Quindi se è giusto come ho fatto io dovrei ottenere che \( I(x)= -x - \frac{\pi}{8} x + \sqrt{x} \).
E dunque avere che
\[ \sum_{n \leq x} r(n) = 4 \sum_{n \leq 4} r_+(n) = \pi x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

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Probabilmente ho sbagliato/sto sbagliando qualcosa perché ottengo che
\[\sum_{0

Infatti usando la formula di Eulero-McLaurin ottengo come prima
\[ \sum_{0
Ora invece di splittare come prima l'integrale, integriamo per parti e notando che \( \psi'(\xi) = 1 \) quasi ovunque. Otteniamo
\[ \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\psi(\xi) \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi = \left[- \psi(\xi) \sqrt{x-\xi^2}\right]_0^{\sqrt{x}} + \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi =- \frac{1}{2}\sqrt{x} + \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi \]
Dunque
\[\int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi - \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\psi(\xi) \xi}{\sqrt{x-\xi^2}}d\xi + \psi(0) \sqrt{x-0^2} - \psi(\sqrt{x})\sqrt{x-x} \]
\[= \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi + \frac{1}{2}\sqrt{x} - \int_0^{\sqrt{x}} \sqrt{x-\xi^2} d\xi - \frac{1}{2}\sqrt{x} = 0\]

edit: ottenendo in fine
\[ \sum_{n\leq x} r(n) = 8 \sqrt{x} - 4 x + \mathcal{O}(\sqrt{x}) \]

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"3m0o":
Non saprei come calcolare troppo bene
\[ \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sqrt{x-a^2} \]
Forse con la formula di Eulero-McLaurin? So che \( f(a):= \sqrt{x-a^2} \) è una funzione \( \mathcal{C}^1 ([0,\sqrt{x}]) \).

Ecco cosa sbaglio. Quella funzione non è \( \mathcal{C}^1([0,\sqrt{x}]) \) bensì \( \mathcal{C}^1([0,\sqrt{x})) \).
Quindi non posso applicare la formula di Eulero-MacLaurin.
Pertanto non so come calcolare

\[ \sum_{a \leq \sqrt{x} } \sqrt{x-a^2} \]