Mertens function \( o(x) \) equivalente a PNT

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Dimostra che
\[ \sum_{n \leq x} \mu(n) = o(x) \]
è equivalente al teorema dei numeri primi.

Per una direzione avrei una domanda. Ovvero per quella. Avete idee di come si fa?
\[ \sum_{n \leq x} \mu(n) = o(x) \Rightarrow \text{PNT} \]

Io pensavo di fare una cosa del genere.
deifniamo \( a(n) = 1 + \mu(n) \) allora abbiamo che
\[ A(x) := \sum_{n \leq x} 1+ \mu(n) = x + o(x) \]
e voglio mostrare che
\[ \psi(x) \sim A(x) \]

Ma non saprei come mostrare che \( \psi(x) \sim A(x) \).

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Ho trovato una dimostrazione sul Hildebrand.
usa un idea che non mi sarebbe mai, e dico MAI, venuta in mente!

Approssima il logaritmo con una funzione \(f\) più un certo resto \(r\), che non mi sarei mai sognato di prendere ovvero dice che
\[ \log = f+ r =\tau - 2 \gamma + r \]

Ma dico, come fa a venirti in mente una cosa del genere? Cioè, una volta che l'hai già visto fare, magari sì. Ma così dal nulla... mah.

dove \( \tau \) è la funzione divisore, perché osserva che
\[ \sum_{n \leq x} f(n) = \sum_{n \leq x} \tau(n) - 2\gamma \sum_{n \leq x} 1 \]
\[ = x \left( \log x + 2 \gamma - 1 \right) + O ( \sqrt{x} ) - 2 \gamma x + O(1) = x ( \log x -1 ) + O(\sqrt{x} ) \]
e
\[ \sum_{n \leq x} \log n = x( \log x -1 ) + O(\log x ) \]
e dunque
\[ \log = ( 1 \ast 1 ) - 2 \gamma + r \]
e siccome
\[ \Lambda = \mu \ast \log = \mu \ast ( 1 \ast 1 - 2 \gamma \cdot 1 + r ) = (\mu \ast 1) \ast 1 - 2 \gamma( \mu \ast 1 ) + \mu \ast r = 1 - 2 \gamma e + \mu \ast r \]

e quindi dice
\[ \psi(x) = \sum_{n \leq x} 1 - 2 \gamma + \sum_{n \leq x} (\mu \ast r) (n) = x + O(1) + E(x) \]
e poi dimostra che \( E(x) = o(x) \).