MCD tra polinomi
Devo trovare il MCD tra $x^(5)-3x^(2)+4x-3$ e $x-2$. Applicando l'algoritmo euclideo ottengo:
$x^(5)-3x^(2)+4x-3=(x-2)(x^(4)+2x^(3)+4x^(2)+5x+14)+25$
$x-2=25(x/25)-2$
$25=-25/2(-2)+0$
E quindi il MCD dovrebbe essere -2..ma è mai possibile che il MCD sia negativo..?
Ho applicato anche Bezoùt, ma anche lì esce un campanellino d'allarme...forse il MCD è semplicemente 1?
Grazie a tutti...
$x^(5)-3x^(2)+4x-3=(x-2)(x^(4)+2x^(3)+4x^(2)+5x+14)+25$
$x-2=25(x/25)-2$
$25=-25/2(-2)+0$
E quindi il MCD dovrebbe essere -2..ma è mai possibile che il MCD sia negativo..?
Ho applicato anche Bezoùt, ma anche lì esce un campanellino d'allarme...forse il MCD è semplicemente 1?
Grazie a tutti...
Risposte
hai sbagliato la prima divisione..il risultato sarebbe
$(x^5-3x^2+4x-3)/(x-2) $
il quoziente è $ x^4+2x^3$
il resto$4x^3-3x^2+4x-3$
di conseguenza devi andare avanti
$(x^5-3x^2+4x-3)/(x-2) $
il quoziente è $ x^4+2x^3$
il resto$4x^3-3x^2+4x-3$
di conseguenza devi andare avanti
No questa volta non credo di aver sbagliato i calcoli...e poi non è mai possibile che il resto abbia grado maggiore del divisore....
"melli13":
E quindi il MCD dovrebbe essere -2..ma è mai possibile che il MCD sia negativo..?
Ho applicato anche Bezoùt, ma anche lì esce un campanellino d'allarme...forse il MCD è semplicemente 1?
Eh, già.
Se stai lavorando in un anello di polinomi a coefficienti in un campo, allora per due polinomi avere MCD uguale a $1$, $1000$, $-4$ è la stessa cosa.
Ah qualsiasi numero esca è sempre uguale a 1?e perchè..?non capisco... 
EDIT:Sto lavorando in $QQ[X]$
EDIT:Sto lavorando in $QQ[X]$
Be', pensa a quali sono gli elementi invertibili in tale anello...
Se ti viene più comodo, pensa all'analogia con $ZZ$: dire che due interi hanno MCD pari a $-1$ è come dire che sono coprimi. Naturalmente, è una scelta nostra prendere quello positivo, ma guarda caso 1 e -1 sono gli unici invertibili in $ZZ$...
Se ti viene più comodo, pensa all'analogia con $ZZ$: dire che due interi hanno MCD pari a $-1$ è come dire che sono coprimi. Naturalmente, è una scelta nostra prendere quello positivo, ma guarda caso 1 e -1 sono gli unici invertibili in $ZZ$...
In $QQ[X]$ tutti gli elementi sono invertibili (tranne lo zero)...e quindi MCD è sempre uguale a 1..??
Faccio un esempio: $MCD(1/2,3/4)=1/2$ ed infatti i due numeri mica sono coprimi....e poi da dove deriva questa cosa..?
Scusa ma forse ho interpretato male ciò che mi hai spiegato....ma vorrei capirla a fondo se non ti dispiace perchè mi interessa...
Faccio un esempio: $MCD(1/2,3/4)=1/2$ ed infatti i due numeri mica sono coprimi....e poi da dove deriva questa cosa..?
Scusa ma forse ho interpretato male ciò che mi hai spiegato....ma vorrei capirla a fondo se non ti dispiace perchè mi interessa...
Semplificando molto la cosa, il succo è questo:
in $QQ[x]$ l'$M.C.D.$ tra due polinomi $p_1(x)$ e $p_2(x)$ non è unico.
Infatti, chiamato $q(x)$ tale massimo comun divisore, si ha che anche $2*q(x)$ è $M.C.D.$ tra $p_1(x)$ e $p_2(x)$,
anche $-10*q(x)$, anche $156*q(x)$ ... e così via.
Cioè, moltiplicando $q(x)$ per qualsiasi $k in QQ-{0}$ , esso rimane massimo comun divisore.
Il motivo, come dice Paolo90, è che le costanti non nulle sono invertibili in $QQ[x]$
Tra tutta questa famiglia di $M.C.D.$, per comodità si sceglie spesso quello monico
in $QQ[x]$ l'$M.C.D.$ tra due polinomi $p_1(x)$ e $p_2(x)$ non è unico.
Infatti, chiamato $q(x)$ tale massimo comun divisore, si ha che anche $2*q(x)$ è $M.C.D.$ tra $p_1(x)$ e $p_2(x)$,
anche $-10*q(x)$, anche $156*q(x)$ ... e così via.
Cioè, moltiplicando $q(x)$ per qualsiasi $k in QQ-{0}$ , esso rimane massimo comun divisore.
Il motivo, come dice Paolo90, è che le costanti non nulle sono invertibili in $QQ[x]$
Tra tutta questa famiglia di $M.C.D.$, per comodità si sceglie spesso quello monico
Ah ho capito... 
grazie mille...
grazie mille...
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