MCD tra interi di Gauss

[klaryssa1]

Qualcuno potrebbe farmi vedere come si fa a calcolare il MCD tra due numeri interi di Gauss?
Cioè: z = 1+3i , s = 5i ; MCD(z,s) = ?...Immagino si debba usare l'algoritmo euclideo,ma come?

[mod="LucaB"]
cancellato dal titolo l'avviso di "urgenza" per la soluzione del quesito.
[/mod]

[Lord K]

Penso si proceda analogamente al MCD usuale, solo che anzichè considerare il resto, si considera la norma del resto, osserviamo:

$5i rightarrow |5i|= 25$
$1+3i rightarrow |1+3i|= 10$

Quindi operiamo la divisione come segue:

$5i= (1+3i)q_0 + r_0$

dove $|r|<|1+3i|$

$5i= (1+3i)1 + (-1-2i)$ dove $|-1-2i|<|1+3i|$
$1+3i = -(1+2i)(-2) + (-1-i)$ dove $|-1-i|<|-1-2i|$
$-(1+2i) = -(1+i)1 + i$ dove $|i|<|-1-i|$
$-1-i = i (i-1) + 0$

e quindi se ho ragione:

$MCD(5i, 1+3i)=i$

[Adrianorto]

Oh Lord, sei riuscito ad applicare l’algoritmo euclideo con successo verificando ad ogni passo che il resto decresca. Credo che si possa utilizzare (in questo stesso problema) la scomposizione in fattori primi poiché Z e' un dominio a fattorizzazione unica .

[spugna2]

Sicuri che venga $1$?

$5i=(1-2i)(-2+i)$
$1+3i=(1-2i)(-1+i)$

[Adrianorto]

Non saprei Spugna...( i ) e' primo e tra quelli che hai scritto tu sono sicuro solo di un fattore irriducibile.

[spugna2]

"Adrianorto":( i ) e' primo

Se con ( i ) intendi l'unità immaginaria non credo proprio: gli elementi invertibili non sono considerati primi.

"Adrianorto":tra quelli che hai scritto tu sono sicuro solo di un fattore irriducibile.

Il mio intento non era di fattorizzare i due numeri, ma di mettere in evidenza un fattore in comune, vale a dire $1-2i$ (e comunque mi pare che tutti quei fattori siano irriducibili, visto che i quadrati delle loro norme sono numeri primi).

[Adrianorto]

Ho torvato l'errore che e' di calcolo ed e' qui: $ 5i = (1+3i)1 + (-1-2i) $.
Spugna, grazie della dritta sui primi di Gauss. Il risultato corretto mi pare il tuo : $ (1+2i) $ che hai intuito solo grazie a me!
Ho provato a fare l'algoritmo di Euclide : $ 5i = (1+3i)1 + (-1+2i), (1+3i)=(-1+2i) + (2+i) $ ma gia' al secondo passaggio non sono riuscito a diminuire il resto mentre in effetti $|-1+2i|<|1+3i| $ come aveva quasi indovinato Lord K.
$ 5 = (2+i)(2-i) $ cosicche' e' fattorizzato $ (5i) $ essendo ( i ) un invertibile.
Osservando poi che $ (1+3i) = i(3-i) $ e che ha modulo quadrato 10 si fattorizza in due termini uno di modulo cinque ed uno di modulo due : $(3-i) = (1-2i)(1+i) $. Spugna posso capire che dire che 1 e' primo sia ridondante ma ( i ) ci potrebbe stare. Ambiguamente l' unita' immaginaria e' associata ad uno ed e' un elemento primo ma del resto e’ appunto una quantita' fantasmatica anzi Fantasmacchia !

[vict85]

Ogni fattorizzazione in elementi irriducibili è determinata a meno della moltiplicazione per elementi invertibili. La definizione di primo è qualcosa di ben preciso.

Comunque la risposta di Lord K ha 8 anni.