Mcd in $ZZ[i sqrt(5)]$
ciao come mai $mcd(9, 3(2+i sqrt(5)))$ non esiste? io ho fatto cosi per cominciare: ho preso 9 e ho visto che ha norma 81 quindi i suoi fattori devono avere norma 3 il che non è possibile perchè di norma 3 in $ZZ[i sqrt(5)]$ non ce ne sono. lo stesso vale per $3(2+i sqrt(5))$ ma come posso concludere?
dovrei poi dimostrare che l'ideale generato da (2) in $ZZ[i sqrt(8)]$ non è massimale. pensavo di dimostrare che non era irriducibile ma non trovo i fattori.
qualcuno ci capisce qualcosa di queste cose? sto sbagliando? grazie mille!
[mod="Martino"]Ho reso un po' più leggibile il testo.[/mod]
dovrei poi dimostrare che l'ideale generato da (2) in $ZZ[i sqrt(8)]$ non è massimale. pensavo di dimostrare che non era irriducibile ma non trovo i fattori.
qualcuno ci capisce qualcosa di queste cose? sto sbagliando? grazie mille!
[mod="Martino"]Ho reso un po' più leggibile il testo.[/mod]
Risposte
Ciao!
Osserva che
$N(3)=9$
$N(2+i sqrt{5})=9$
$N(2-i sqrt{5})=9$
Questo ti dice che gli elementi $3$, $2+i sqrt{5}$, $2-i sqrt{5}$ sono irriducibili (perché come hai giustamente osservato in $ZZ[i sqrt{5}]$ non ci sono elementi di norma $3$). Ora cosa puoi dire sui divisori comuni di $9$ e $3(2+i sqrt{5})$ ?
Per mostrare che il mcd non esiste è sufficiente trovare due divisori comuni irriducibili e non associati.
Quanto all'altro problema: osserva che per mostrare che dato un intero $n$ l'ideale $(n)$ non è massimale in $ZZ[sqrt{d}]$ basta mostrare che il quoziente $ZZ[sqrt{d}]//(n)$ non è un campo. Ma $ZZ[sqrt{d}]=ZZ[X]//(X^2-d)$ e quindi $ZZ[sqrt{d}]//(n) cong ZZ[X]//(n,X^2-d) cong (ZZ//nZZ)[X]//(X^2-d)$. Perché questo quoziente sia un campo bisogna che $n$ sia un primo e che $X^2-d$ sia irriducibile modulo $n$. Basta applicare questo fatto al tuo caso.
Es. Osserva che pur essendo $3$ un elemento irriducibile in $ZZ[i sqrt{5}]$, l'ideale $(3)$ non è massimale perché modulo $3$ hai $X^2+5 = (X-1)(X-2)$.
Es. Per esempio invece $(3)$ è massimale in $ZZ$ perché $X^2+1$ è irriducibile modulo $3$.
P.S.: perché le formule vengano bene metti un \$ prima della formula e un \$ dopo. Quindi per esempio non scrivere "Z[\$i sqrt(5)\$]" ma scrivi "\$Z[i sqrt(5)]\$".
Osserva che
$N(3)=9$
$N(2+i sqrt{5})=9$
$N(2-i sqrt{5})=9$
Questo ti dice che gli elementi $3$, $2+i sqrt{5}$, $2-i sqrt{5}$ sono irriducibili (perché come hai giustamente osservato in $ZZ[i sqrt{5}]$ non ci sono elementi di norma $3$). Ora cosa puoi dire sui divisori comuni di $9$ e $3(2+i sqrt{5})$ ?
Per mostrare che il mcd non esiste è sufficiente trovare due divisori comuni irriducibili e non associati.
Quanto all'altro problema: osserva che per mostrare che dato un intero $n$ l'ideale $(n)$ non è massimale in $ZZ[sqrt{d}]$ basta mostrare che il quoziente $ZZ[sqrt{d}]//(n)$ non è un campo. Ma $ZZ[sqrt{d}]=ZZ[X]//(X^2-d)$ e quindi $ZZ[sqrt{d}]//(n) cong ZZ[X]//(n,X^2-d) cong (ZZ//nZZ)[X]//(X^2-d)$. Perché questo quoziente sia un campo bisogna che $n$ sia un primo e che $X^2-d$ sia irriducibile modulo $n$. Basta applicare questo fatto al tuo caso.
Es. Osserva che pur essendo $3$ un elemento irriducibile in $ZZ[i sqrt{5}]$, l'ideale $(3)$ non è massimale perché modulo $3$ hai $X^2+5 = (X-1)(X-2)$.
Es. Per esempio invece $(3)$ è massimale in $ZZ$ perché $X^2+1$ è irriducibile modulo $3$.
P.S.: perché le formule vengano bene metti un \$ prima della formula e un \$ dopo. Quindi per esempio non scrivere "Z[\$i sqrt(5)\$]" ma scrivi "\$Z[i sqrt(5)]\$".
grazie scusa per le formule scritte male mi sembrava di aver controllato. cmq ho capito quello che dici ti faccio una piccola domanda. come si dimostra che l'ideale $I={a+sqrt(7)b$ tc $a=b (mod6)}$ in $ZZ[sqrt(7)]$ è principale? io ho fatto cosi:
se $a=b (mod6)$ allora ci sono $ k,h in ZZ$ tc $a=6k+r1$ e $b=6h+r2$ con $r1=r2$ quindi $I={6k+r1+sqrt(7)(6h+r1)}={6(k+hsqrt(7))+r1(1+sqrt(7))}$ fin qui mi sembra tutto a posto ma ora non capisco più bene cosa sto dicendo.. cioè mi verrebbe da dire che il generatore è $1+sqrt(7)$ ma è sensato?
se $a=b (mod6)$ allora ci sono $ k,h in ZZ$ tc $a=6k+r1$ e $b=6h+r2$ con $r1=r2$ quindi $I={6k+r1+sqrt(7)(6h+r1)}={6(k+hsqrt(7))+r1(1+sqrt(7))}$ fin qui mi sembra tutto a posto ma ora non capisco più bene cosa sto dicendo.. cioè mi verrebbe da dire che il generatore è $1+sqrt(7)$ ma è sensato?
Se vuoi dimostrare che $I=(1+sqrt(7))$ prova a dimostrare che ogni elemento di $I$ si può scrivere nella forma $(1+sqrt(7))(x+y sqrt(7))$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo