MCD e proprietà associativa
[tex]MCD(a,b,c)=MCD(MCD(a,b),c)=MCD(a,MCD(b,c))[/tex]
Come lo dimostrereste senza ricorrere alla dimostrazione stessa del MCD?
Io pensavo di usare la definizione di MCD tra i numeri [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]: [tex]d|a \land d|b \land (\exists d^' \in \mathbb{Z} t.c. d^'|a \land d^'|b \Rightarrow d^'|d)[/tex], o abbreviando [tex]d|a \land d|b \land (d^'|a \land d^'|b \Rightarrow d^'|d)[/tex] e poi estendere il tutto ai numeri [tex]a,b,c[/tex] opportunamente associati, ma mi sembra una panzanata....
Come lo dimostrereste senza ricorrere alla dimostrazione stessa del MCD?
Io pensavo di usare la definizione di MCD tra i numeri [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]: [tex]d|a \land d|b \land (\exists d^' \in \mathbb{Z} t.c. d^'|a \land d^'|b \Rightarrow d^'|d)[/tex], o abbreviando [tex]d|a \land d|b \land (d^'|a \land d^'|b \Rightarrow d^'|d)[/tex] e poi estendere il tutto ai numeri [tex]a,b,c[/tex] opportunamente associati, ma mi sembra una panzanata....
Risposte
No invece hai ragione. Poniamo $k = MCD (a,b)$ e $d = MCD (MCD(a,b),c)$. Segue facilmente $d|c$ e $d|k|a$ e $d|k|b$ cioè $d$ è un divisore comune di $a,b,c$. Facciamo vedere che è il più grande. Sia $d'$ un'altro disore comune di $a,b,c$, allora per la definizione di mcd $d'|k$ quindi è un divisore comune di $c$ e $k$ e di nuovo per la def. di mcd si ha che $d'|d$. Pertanto $MCD (MCD(a,b),c) = MCD(a,b,c)$. Si procede analogamente per mostrare $MCD(a,MCD(b,c))=MCD(a,b,c)$. Per la cronaca mcd e mcm hanno tante belle proprietà infatti l'insieme $NN$ dei numeri naturali con queste due "operazioni" costituisce un reticolo distributivo.
Grazie perplesso per l'aiuto, spero di ricambiare 
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