MCD di polinomi
Ciao a tutti, sapreste aiutarmi a risolvere questo esercizio?
Si determini il MCD $d(x)$ dei polinomi $a(x) = x^5+x^2+1$ e $b(x)=x^2+x+1$ e si trovino due polinomi $r(x)$ e $s(x)$ tali che $d(x)=r(x)a(x)+s(x)b(x)$
Grazie mille!!
L.
Si determini il MCD $d(x)$ dei polinomi $a(x) = x^5+x^2+1$ e $b(x)=x^2+x+1$ e si trovino due polinomi $r(x)$ e $s(x)$ tali che $d(x)=r(x)a(x)+s(x)b(x)$
Grazie mille!!
L.
Risposte
Basta seguire l'algoritmo di Euclide e poi "ribaltarlo", fai un tentativo e poi ti posto il mio risultato 
E come si fa per un polinomio?? Io pensavo che, non essendo i due polinomi scomponibili, il MCD fosse 1...(povero illuso)
Povero me, non passerò mai l'esame...
Se i due polinomi sono irriducibili (stai lavorando in $QQ[x]$?) allora il loro massimo comun divisore è 1 (ma ti consiglio di provare lo stesso a seguire l'algoritmo consigliato da Lord K per verificarlo).
Beh, non è specificato nel testo d'esame se è $QQ[x]$ o $RR[x]$...
Ma in ogni caso il secondo polinomio non ha nè radici reali nè irreali, il (delta) è negativo.
Ma quindi è giusto $MCD(a,b)=1$?
E per la seconda parte? In effetti è quella che mi crea i maggiori problemi.
Devo andare a caso? O esiste un procedimento?
Io avevo pensato di attribuire questi valori a r e s:
$r(x)=1/(2*(x^5 + x^2 + 1)$ e $s(x)=1/(2*(x^2 + x + 1)$
in modo da ottenere $1=1/2 + 1/2$
Che ne pensate?
Grazie ancora a tutti.
-L-
Ma in ogni caso il secondo polinomio non ha nè radici reali nè irreali, il (delta) è negativo.
Ma quindi è giusto $MCD(a,b)=1$?
E per la seconda parte? In effetti è quella che mi crea i maggiori problemi.
Devo andare a caso? O esiste un procedimento?
Io avevo pensato di attribuire questi valori a r e s:
$r(x)=1/(2*(x^5 + x^2 + 1)$ e $s(x)=1/(2*(x^2 + x + 1)$
in modo da ottenere $1=1/2 + 1/2$
Che ne pensate?
Grazie ancora a tutti.
-L-
Ma in ogni caso il secondo polinomio non ha nè radici reali nè irreali, il (delta) è negativo.
forse volevi dire né razionali né irrazionali ... cioè non ha radici reali perché il discriminante è negativo ...
due complesse invece le ha, e le puoi trovare proprio applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ...
io non ho molta familiarità con l'algoritmo di Euclide, però se dici che b(x) è irriducibile, puoi provare ad eseguire la divisione tra a(x) e b(x): mi pare che il quoziente sia $x^3-x^2+2$ ed il resto $-2x-2$, quindi a(x) non è divisibile per b(x).
ciao.
Mmmh...Sentite, scusate l'ignoranza...ma per trovare il MCD tra due polinomi non basta fare la scomposizione di entrambi e verificare se esistono fattori comuni? Intendo, senza passare dalla divisione polinomiale...non è lo stesso?
E comunque secondo voi la mia soluzione è giusta?
Grazie ancora
E comunque secondo voi la mia soluzione è giusta?
Grazie ancora
allora sicuramente quei polinomi che hai scrittuo tu $r$ ed $s$ non vanno bene assolutamente in quanto non sono polinomi!!!
dunque sono sbagliati.
ora adesso per fissare le idee supponiamo di essere in $RR[x]$ allora per trovare l' MCD in questo caso visto che $x^2+x+1$ è irriducibile su $RR$ basta fare la diviosione tra questi due polinomi e in particolare hai che
$x^5+x^2+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+2)-2x-1$
dunque in particolare il MCD sarà 1.
per trovare i polinomi $r(x)$ ed $s(x)$ devi procedere con l'algoritmo di euclide e troverai che
posto $f=x^5+x^2+1$ e $g=x^2+x+1$
si ha che
$f(x)=g(x)(x^3-x^2+2) -2x-1$
$g(x)=(-2x-1)(-1/2 x-1/4) +3/4$
e sostituendo al contrario
$3/4=f(x)(1/2 x+1/2) +g(x)(1+(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2))$
quindi moltiplicando per $4/3$ hai
$1=f(x)(2/3 x+2/3)+g(x)[4/3+4/3(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2)]$
ed hai trovatro anche i due polimoni r ed s.
ciao ciao
dunque sono sbagliati.
ora adesso per fissare le idee supponiamo di essere in $RR[x]$ allora per trovare l' MCD in questo caso visto che $x^2+x+1$ è irriducibile su $RR$ basta fare la diviosione tra questi due polinomi e in particolare hai che
$x^5+x^2+1=(x^2+x+1)(x^3-x^2+2)-2x-1$
dunque in particolare il MCD sarà 1.
per trovare i polinomi $r(x)$ ed $s(x)$ devi procedere con l'algoritmo di euclide e troverai che
posto $f=x^5+x^2+1$ e $g=x^2+x+1$
si ha che
$f(x)=g(x)(x^3-x^2+2) -2x-1$
$g(x)=(-2x-1)(-1/2 x-1/4) +3/4$
e sostituendo al contrario
$3/4=f(x)(1/2 x+1/2) +g(x)(1+(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2))$
quindi moltiplicando per $4/3$ hai
$1=f(x)(2/3 x+2/3)+g(x)[4/3+4/3(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2)]$
ed hai trovatro anche i due polimoni r ed s.
ciao ciao
Ciao. Innanzitutto grazie per la risposta. Ho provato a fare come mi dicevi...ma sono bloccato.
I passaggi prima, tutto ok, ma poi non ho capito cosa devo fare per proseguire.
Non ho ben capito che devo fare con l'algoritmo di Euclide (che non conosco)
Ho guardato sulle tesine del prof, in Internet e sul libro ma non spiegano come devo fare...scusate l'ignoranza....
Ciao e grazie per la pazienza
I passaggi prima, tutto ok, ma poi non ho capito cosa devo fare per proseguire.
"miuemia":
$g(x)=(-2x-1)(-1/2 x-1/4) +3/4$
e sostituendo al contrario
$3/4=f(x)(1/2 x+1/2) +g(x)(1+(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2))$
quindi moltiplicando per $4/3$ hai
$1=f(x)(2/3 x+2/3)+g(x)[4/3+4/3(x^3-x^2+2)(-1/2 x -1/2)]$
ed hai trovatro anche i due polimoni r ed s.
Non ho ben capito che devo fare con l'algoritmo di Euclide (che non conosco)
Ho guardato sulle tesine del prof, in Internet e sul libro ma non spiegano come devo fare...scusate l'ignoranza....
Ciao e grazie per la pazienza
ho trovato questo su internet che ti spiega con un esempio su $ZZ$... tu lo devi adattare al caso dei polinomi.
http://www.dima.unige.it/~baratter/md08 ... .10.07.pdf
http://www.dima.unige.it/~baratter/md08 ... .10.07.pdf
Ciao. Grazie per il link...In pratica il processo è simile a quello delle diofantee, giusto?
Però, le diofantee riesco a farle, ma facendolo ai miei polinomi proprio non ci riesco...è troppo complicato per me, non lo capisco proprio.
Spero che nell'esame ci siano altri esercizi alla mia portata. Grazie lo stesso, ci avete provato...
Ciao
Però, le diofantee riesco a farle, ma facendolo ai miei polinomi proprio non ci riesco...è troppo complicato per me, non lo capisco proprio.
Spero che nell'esame ci siano altri esercizi alla mia portata. Grazie lo stesso, ci avete provato...
Ciao
ma è la stessa identica cosa...soltanto che al posto dei numeri hai polinomi...
ciao ciao
ciao ciao
La situazione è simile e basta cambiare di poco il punto di vista... Se ci pensi sono sempre divisioni con il resto l'unica cosa è che il polinomio resto ha grado strettamente minore del polinomio divisore. Con questa riflessione i due algoritmi sono pressochè identici.
Cosa non riesci a capire?
Cosa non riesci a capire?
Mmmh, quindi devo fare ogni volta una divisione polinomiale? E l'ultimo numero che mi resta è il MCD?
Grazie
L.
Grazie
L.
Continui fino a che puoi: se ottieni un invertibile, dopo la lunga catena di divisioni, i polinomi sono coprimi, altrimenti hai il MCD.
Ok grazie...più o meno ho capito, ma spero che non metta quell'esercizio all'esame!
Ciao a tutti, grazie per l'aiuto.
Ciao a tutti, grazie per l'aiuto.
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