Matrici invertibili in un sottoanello
Buonasera, vi propongo un problema che mi sono posto di recente:
Sia dato un anello $R$ unitario senza ulteriori condizioni, posso considerare il gruppo lineare delle matrici invertibili $GL_n(R)={M\in\Mat_(nxn)(R):EE\M'\in\Mat_(nxn)(R):MM'=M'M=I_n}$.
Se $A
Però ho qualche problema con l'esistenza dell'elemento inverso:
Chi mi assicura che presa una $M\in\GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)$ la sua inversa non stia in $\GL_n(R)-Mat_(nxn)(A)$?
Sia dato un anello $R$ unitario senza ulteriori condizioni, posso considerare il gruppo lineare delle matrici invertibili $GL_n(R)={M\in\Mat_(nxn)(R):EE\M'\in\Mat_(nxn)(R):MM'=M'M=I_n}$.
Se $A
Però ho qualche problema con l'esistenza dell'elemento inverso:
Chi mi assicura che presa una $M\in\GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)$ la sua inversa non stia in $\GL_n(R)-Mat_(nxn)(A)$?
Risposte
Secondo me il problema è mal posto. $GL_n(R)$ è un gruppo con l'operazione di moltiplicazione tra matrici mentre $M_{n,n}(A)$ un anello, al più un gruppo con la somma tra matrici. Come fai a fare l'intersezione tra questi due oggetti intendendole come strutture algebriche? Hanno due strutture diverse. :/
Al più puoi chiederti se $H:=GL_n(A)$ è un sottogruppo di $GL_n(R)$. Il che è vero. Infatti, poiché per ipotesi $A$ contiene 1, hai che $I_n \in H$ , Binet ti garantisce la chiusura e la presenza degli inversi la hai gratis dalla definizione stessa di $H$.
Al più puoi chiederti se $H:=GL_n(A)$ è un sottogruppo di $GL_n(R)$. Il che è vero. Infatti, poiché per ipotesi $A$ contiene 1, hai che $I_n \in H$ , Binet ti garantisce la chiusura e la presenza degli inversi la hai gratis dalla definizione stessa di $H$.
Capisco i motivi della tua osservazione.
Ribadisco la mia domanda:
$H:=GL_n(R)nn\Mat_(nxn)(A)$ è un intersezione di insiemi che si può fare.
$H$ ha una struttura di gruppo con il prodotto tra matrici (e conseguentemente è un sottogruppo di $GL_n(R))$?
L'elemento neutro c'è, la chiusura rispetto al prodotto anche, ma l'esistenza dell'inverso non riesco a dimostrarla.
Spero che ora sia più chiaro il mio quesito.
Ribadisco la mia domanda:
$H:=GL_n(R)nn\Mat_(nxn)(A)$ è un intersezione di insiemi che si può fare.
$H$ ha una struttura di gruppo con il prodotto tra matrici (e conseguentemente è un sottogruppo di $GL_n(R))$?
L'elemento neutro c'è, la chiusura rispetto al prodotto anche, ma l'esistenza dell'inverso non riesco a dimostrarla.
Spero che ora sia più chiaro il mio quesito.
Temo di no. Considera $GL_2(QQ)$ e $M_{2}(ZZ)$. ( $ZZ$ è unitario ed è un sottoanello di $QQ$).
E poni $H:= GL_2(QQ) nn M_{2}(ZZ)$.
Prendi $A=((1,0),(0,2))$. Certamente $A \in H$ perché $A \in GL_n(QQ)$ e $A \in M_2(ZZ)$. Se $H$ fosse un sottogruppo $A^-1$ dovrebbe stare in $H$ , ma così non è.
Infatti $A^-1 = ((1,0),(0,1/2))$
Il controesempio può essere esteso e generalizzato al caso n qualsiasi, basta che prendi una qualsiasi matrice di $H:= GL_n(R) nn M_{nxn}(A)$ con determinante non invertibile in $A$.
E poni $H:= GL_2(QQ) nn M_{2}(ZZ)$.
Prendi $A=((1,0),(0,2))$. Certamente $A \in H$ perché $A \in GL_n(QQ)$ e $A \in M_2(ZZ)$. Se $H$ fosse un sottogruppo $A^-1$ dovrebbe stare in $H$ , ma così non è.
Infatti $A^-1 = ((1,0),(0,1/2))$
Il controesempio può essere esteso e generalizzato al caso n qualsiasi, basta che prendi una qualsiasi matrice di $H:= GL_n(R) nn M_{nxn}(A)$ con determinante non invertibile in $A$.
Ok, tutto chiaro, grazie della risposta.
Mentre se $R$ fosse un campo, $A$ un sottocampo, allora sarebbe vero che $GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)<=GL_n(R)$? in tal caso dovrebbe esistere l'uguaglianza $GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)=GL_n(A)$.
Mentre se $R$ fosse un campo, $A$ un sottocampo, allora sarebbe vero che $GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)<=GL_n(R)$? in tal caso dovrebbe esistere l'uguaglianza $GL_n(R)nnMat_(nxn)(A)=GL_n(A)$.
Mmh si, direi di si.
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