Matrici Anelli e sottoanelli
Ciao,
ho delle difficoltà molto serie nell'impostare il seguente esercizio....
Sia R un dato anello.
a) Provare che nell’anello Mn(R) il sottoinsieme delle matrici triangolari superiori e
quello delle matrici triangolari inferiori sono sottoanelli. Essi si indicano rispettivamente
con UTn(R) e LTn(R).
b) Provare che il sottoinsieme S di Mn(R) delle matrici diagonali `e anch’esso un
sottoanello, come pure lo `e il sottoinsieme delle matrici scalari.
Non so da dove partire...
Grazie in anticipo.
ho delle difficoltà molto serie nell'impostare il seguente esercizio....
Sia R un dato anello.
a) Provare che nell’anello Mn(R) il sottoinsieme delle matrici triangolari superiori e
quello delle matrici triangolari inferiori sono sottoanelli. Essi si indicano rispettivamente
con UTn(R) e LTn(R).
b) Provare che il sottoinsieme S di Mn(R) delle matrici diagonali `e anch’esso un
sottoanello, come pure lo `e il sottoinsieme delle matrici scalari.
Non so da dove partire...
Grazie in anticipo.
Risposte
Se $A$ è un anello, $K \sube A$, Quando $K$ è un sotto anello di $A$ ?
Quando le operazioni binarie + e * sono:
+: KxK --> K
* kxk --->
Inoltre, + deve essere associativo e commutativo...il * associativo....credo
+: KxK --> K
* kxk --->
Inoltre, + deve essere associativo e commutativo...il * associativo....credo
Prendi il libro e ripassa la teoria.
Ho ripassato le nozioni.
Come primo passo,verifico che K sia un sottogruppoide. Ossia: per ogni x,y appartenente a K, x*y appartiene a K.
Verificato questo, posso procedere nel verificare le altre condizioni che lo rendono sottogruppo.
Infine, verifico che sia sottogruppo di (R,+) rispetto all'addizione.
Facendo il prodotto tra le matrici triangolari superiori, per verificare che il risultato sia in K, ottengo la matrice diagonale e non so se considerarla come una matrice triangolare superiore.
Come primo passo,verifico che K sia un sottogruppoide. Ossia: per ogni x,y appartenente a K, x*y appartiene a K.
Verificato questo, posso procedere nel verificare le altre condizioni che lo rendono sottogruppo.
Infine, verifico che sia sottogruppo di (R,+) rispetto all'addizione.
Facendo il prodotto tra le matrici triangolari superiori, per verificare che il risultato sia in K, ottengo la matrice diagonale e non so se considerarla come una matrice triangolare superiore.
Se $A$ è un anello e $S$ è un suo sottoinsieme, per provare che $S$ è un sottoanello di $A$ basta verificare che la somma sia interna e lo sia anche il prodotto, cioè per ogni $x$, $y \in S$ $x+y \in S$ e $x \cdot y \in S$.
Per quanto riguarda il tuo esercizio penso che come operazioni si intendano l'usuale somma (somma componente per componente) e prodotto di matrici (prodotto riga per colonna).
Quindi basta prendere due elementi generici di ogni sottoinsieme, sommarli e moltiplicarli per vedere se il risultato di ciascuna operazione rimane nell'insieme
La matrice diagonale è una matrice triangolare superiore (l'importante è che gli elementi sotto la diagonale sono tutti nulli, poco importa di quelli sopra).
Per quanto riguarda il tuo esercizio penso che come operazioni si intendano l'usuale somma (somma componente per componente) e prodotto di matrici (prodotto riga per colonna).
Quindi basta prendere due elementi generici di ogni sottoinsieme, sommarli e moltiplicarli per vedere se il risultato di ciascuna operazione rimane nell'insieme
La matrice diagonale è una matrice triangolare superiore (l'importante è che gli elementi sotto la diagonale sono tutti nulli, poco importa di quelli sopra).
Grazie 
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