Matrici a coefficienti in un anello
buongiorno a tutti
premetto che, per anello io intendo un anello con semigruppo moltiplicativo dotato di unità (monoide)
in geometria 1 (algebra lineare) si studia l'algebra delle matrici (somma e prodotto, determinante, matrice inversa, eccetera eccetera). Mi chiedo: se le matrici, anzichè a coefficienti in un campo (come il campo reale), fossero a coefficienti in un anello, quali proprietà si conservano e quali altre si perdono? Ad esempio, vale l'algoritmo di Gauss per la ricerca dell'(eventuale) inversa, ma vale il metodo della matrice aggiunta?
Poi, lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un anello forma a sua volta un anello (lo si verifica facilmente) con le operazioni usuali di somma e prodotto di matrici. Tuttavia alcune proprietà tipiche delle matrici reali non valgono: ad esempio, in Mn(Z) (matrici a coefficienti interi) una matrice può avere determinante non nullo e non essere invertibile! Dunque mi chiedevo: la definizione formale di determinante rimane la stessa? Se si, esiste una condizione sufficiente e necessaria per la quale una matrice a coefficienti in un anello sia invertibile? (come si dimostra? anche solo una traccia)
Grazie a tutti! Sono ben accetti anche consigli su testi e dispense!
premetto che, per anello io intendo un anello con semigruppo moltiplicativo dotato di unità (monoide)
in geometria 1 (algebra lineare) si studia l'algebra delle matrici (somma e prodotto, determinante, matrice inversa, eccetera eccetera). Mi chiedo: se le matrici, anzichè a coefficienti in un campo (come il campo reale), fossero a coefficienti in un anello, quali proprietà si conservano e quali altre si perdono? Ad esempio, vale l'algoritmo di Gauss per la ricerca dell'(eventuale) inversa, ma vale il metodo della matrice aggiunta?
Poi, lo spazio delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un anello forma a sua volta un anello (lo si verifica facilmente) con le operazioni usuali di somma e prodotto di matrici. Tuttavia alcune proprietà tipiche delle matrici reali non valgono: ad esempio, in Mn(Z) (matrici a coefficienti interi) una matrice può avere determinante non nullo e non essere invertibile! Dunque mi chiedevo: la definizione formale di determinante rimane la stessa? Se si, esiste una condizione sufficiente e necessaria per la quale una matrice a coefficienti in un anello sia invertibile? (come si dimostra? anche solo una traccia)
Grazie a tutti! Sono ben accetti anche consigli su testi e dispense!
Risposte
Premessa fondamentale: alcune cose che si studiano in algebra lineare sfruttano in modo assai pesante le proprietà dei campi (e soprattutto solo alcuni di essi). In particolare, la parte "metrica" dell'algebra lineare è abbastanza inservibile in ambito algebrico.
Tuttavia, per il determinante non cambia niente. Devi solo fare attenzione a non lasciarti imbrogliare: quando si richiede che esso sia non nullo per l'invertibilità di una matrice, in realtà si sta richiedendo implicitamente che esso sia invertibile nell'anello dei coefficienti. In parole (spero) meno fumose, una matrice è invertibile se e soltanto se il suo determinante è invertibile (e questo vale per matrici ad entrate in anelli commutativi qualunque).
Tuttavia, per il determinante non cambia niente. Devi solo fare attenzione a non lasciarti imbrogliare: quando si richiede che esso sia non nullo per l'invertibilità di una matrice, in realtà si sta richiedendo implicitamente che esso sia invertibile nell'anello dei coefficienti. In parole (spero) meno fumose, una matrice è invertibile se e soltanto se il suo determinante è invertibile (e questo vale per matrici ad entrate in anelli commutativi qualunque).
"Richard_Dedekind":
Premessa fondamentale: alcune cose che si studiano in algebra lineare sfruttano in modo assai pesante le proprietà dei campi (e soprattutto solo alcuni di essi). In particolare, la parte "metrica" dell'algebra lineare è abbastanza inservibile in ambito algebrico.
Tuttavia, per il determinante non cambia niente. Devi solo fare attenzione a non lasciarti imbrogliare: quando si richiede che esso sia non nullo per l'invertibilità di una matrice, in realtà si sta richiedendo implicitamente che esso sia invertibile nell'anello dei coefficienti. In parole (spero) meno fumose, una matrice è invertibile se e soltanto se il suo determinante è invertibile (e questo vale per matrici ad entrate in anelli commutativi qualunque).
mmm si domani provo a dimostrare tutto bene....una cosa: hai detto in "anelli commutativi": la commutatività è necessaria?
Direi di sì, anelli non commutativi funzionano per qualcosina ma non per tutto. Se non sbaglio decadono diverse proprietà dei determinanti senza la commutatività.
Ah, una cosa fondamentale (ma direi ovvia): gli anelli devono essere unitari!
Ah, una cosa fondamentale (ma direi ovvia): gli anelli devono essere unitari!
"Richard_Dedekind":
Direi di sì, anelli non commutativi funzionano per qualcosina ma non per tutto. Se non sbaglio decadono diverse proprietà dei determinanti senza la commutatività.
Ah, una cosa fondamentale (ma direi ovvia): gli anelli devono essere unitari!
chiaro, l'ho scritto nel primo posto
Sì, scusami, hai ragione. Comunque l'ho scritto perché a volte ci sono incomprensioni: alcuni (come me) per anello intendono sempre una struttura dotata di unità; altri invece no.
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