Matrice simmetrica e semidefinita positiva. Schur.
Per questo esercizio ho problemi per il punto g)
Data una funzione continua \( k : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} \).
Nel punto a) mi definisce \(x_i = ih \) per \( i=0,\ldots, N \) e \(h=1/N\).
Nel punto b) mi definisce:
\[ K = \begin{pmatrix}
k(x_0,x_0) & \ldots & k(x_0,x_N) \\
\vdots& \ddots & \vdots \\
k(x_N,x_0) & \ldots & k(x_N, x_N)
\end{pmatrix} \]
g) Dimostra che \(K\) è sempre simmetrica e semi definita positiva per \(k(x,y) = \exp(-(x-y)^2/2) \) usando il teorema del prodotto di Schur, i.e. date due matrici \(A,B\) simmetriche e semi-definite allora \(A \odot B\) è ancora definita semi-positiva, dove \(\odot \) è il prodotto di Hadamard ovvero: \( (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} \cdot (B)_{ij} \) è ancora definita semi-positiva.
Prima cosa. Quando dice "è sempre" intende per ogni \(N\) oppure per ogni \(x_1, \ldots, x_N \in [0,1] \), a due a due distinti?
Vabbe simmetrica è okay, è evidente. Ma non riesco a trovare due matrici il cui prodotto di Hadamard mi dia la matrice \(K\).
Data una funzione continua \( k : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} \).
Nel punto a) mi definisce \(x_i = ih \) per \( i=0,\ldots, N \) e \(h=1/N\).
Nel punto b) mi definisce:
\[ K = \begin{pmatrix}
k(x_0,x_0) & \ldots & k(x_0,x_N) \\
\vdots& \ddots & \vdots \\
k(x_N,x_0) & \ldots & k(x_N, x_N)
\end{pmatrix} \]
g) Dimostra che \(K\) è sempre simmetrica e semi definita positiva per \(k(x,y) = \exp(-(x-y)^2/2) \) usando il teorema del prodotto di Schur, i.e. date due matrici \(A,B\) simmetriche e semi-definite allora \(A \odot B\) è ancora definita semi-positiva, dove \(\odot \) è il prodotto di Hadamard ovvero: \( (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} \cdot (B)_{ij} \) è ancora definita semi-positiva.
Prima cosa. Quando dice "è sempre" intende per ogni \(N\) oppure per ogni \(x_1, \ldots, x_N \in [0,1] \), a due a due distinti?
Vabbe simmetrica è okay, è evidente. Ma non riesco a trovare due matrici il cui prodotto di Hadamard mi dia la matrice \(K\).
Risposte
\(k(x,y) = e^{-x^2/2} \cdot e^{xy} \cdot e^{-y^2/2}\)
Okay quindi ho tre matrici che sono le seguenti
\[ A = \begin{pmatrix}
e^{-x_0^2/2}& & e^{-x_0^2/2} \\
\vdots & & \\
e^{-x_N^2/2} & & e^{-x_N^2/2}
\end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix}
e^{x_0x_1}& & e^{x_0x_N} \\
\vdots & & \\
e^{x_Nx_N} & & e^{x_Nx_N}
\end{pmatrix} \]
\[ C = \begin{pmatrix}
e^{-y_0^2/2}& & e^{-y_0^2/2} \\
\vdots & & \\
e^{-y_N^2/2} & & e^{-y_N^2/2}
\end{pmatrix} \]
Il problema è che per applicare il teorema di Schur ho bisogno - per concludere che \( A \odot B \odot C \) è ancora semidefinita positiva - che \(A,B,C\) e \( B \odot C \) oppure \(A \odot B\) siano simmetriche e semidefinite positive. Ma non lo sono! O meglio, \(A,C, A \odot B\) e \(B\odot C\) non lo sono, in particolare non sono simmetriche.
\[ A = \begin{pmatrix}
e^{-x_0^2/2}& & e^{-x_0^2/2} \\
\vdots & & \\
e^{-x_N^2/2} & & e^{-x_N^2/2}
\end{pmatrix} \]
\[ B = \begin{pmatrix}
e^{x_0x_1}& & e^{x_0x_N} \\
\vdots & & \\
e^{x_Nx_N} & & e^{x_Nx_N}
\end{pmatrix} \]
\[ C = \begin{pmatrix}
e^{-y_0^2/2}& & e^{-y_0^2/2} \\
\vdots & & \\
e^{-y_N^2/2} & & e^{-y_N^2/2}
\end{pmatrix} \]
Il problema è che per applicare il teorema di Schur ho bisogno - per concludere che \( A \odot B \odot C \) è ancora semidefinita positiva - che \(A,B,C\) e \( B \odot C \) oppure \(A \odot B\) siano simmetriche e semidefinite positive. Ma non lo sono! O meglio, \(A,C, A \odot B\) e \(B\odot C\) non lo sono, in particolare non sono simmetriche.
Forse le due matrici sono le seguenti
\[ A = \left( \exp( -x_i^2/2 - x_j^2/2) \right)_{i,j=0}^{N} \]
\[ B = \left( \exp( x_ix_j) \right)_{i,j=0}^{N} \]
sono simmetriche.
Ma non saprei dimostrare che sono definite semi-positive. Forse posso dimostrare che sono le matrici di un prodotto scalare semi-positivo. Chiaramente generano un prodotto scalare poiché sono simmetriche e quindi la simmetria e la linearità sono soddisfatte.
Dovrei dimostrare che per ogni \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N+1} \) e per ogni \(N\) abbiamo che
\[ \sum_{i,j=0}^{N} v_i \exp(ij/N) v_j \geq 0 \]
e
\[ \sum_{i,j=0}^{N} v_i \exp(-(i^2-j^2)/2N) v_j \geq 0 \]
ma non ne ho molta idea.
\[ A = \left( \exp( -x_i^2/2 - x_j^2/2) \right)_{i,j=0}^{N} \]
\[ B = \left( \exp( x_ix_j) \right)_{i,j=0}^{N} \]
sono simmetriche.
Ma non saprei dimostrare che sono definite semi-positive. Forse posso dimostrare che sono le matrici di un prodotto scalare semi-positivo. Chiaramente generano un prodotto scalare poiché sono simmetriche e quindi la simmetria e la linearità sono soddisfatte.
Dovrei dimostrare che per ogni \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{N+1} \) e per ogni \(N\) abbiamo che
\[ \sum_{i,j=0}^{N} v_i \exp(ij/N) v_j \geq 0 \]
e
\[ \sum_{i,j=0}^{N} v_i \exp(-(i^2-j^2)/2N) v_j \geq 0 \]
ma non ne ho molta idea.
"3m0o":
\[ A = \left( \exp( -x_i^2/2 - x_j^2/2) \right)_{i,j=0}^{N} \]
\[ B = \left( \exp( x_ix_j) \right)_{i,j=0}^{N} \]
Sono riuscito a dimostrare che \(A\) è definita semi-positiva, infatti preso un vettore \( e \) tale che \( \left< e,e \right> = 1 \) abbiamo che ponendo \( a_i = \exp(-x_i^2/2) e \) allora \( \left< a_i,a_j \right> = \exp( -x_i^2/2 - x_j^2/2) \) pertanto si ha per ogni \(u \)
\[ u^T A u = \sum_{i,j} u_i u_j \left< a_i,a_j \right> = \sum_{i,j} \left< u_i a_i, u_j a_j \right> \]
\[ = \left< \sum_i u_i a_i, \sum_j u_j a_j \right> = \parallel \sum_i u_i a_i \parallel^2 \geq 0 \]
per la \( B \) invece ho difficoltà.
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