Matrice forma bilineare simmetrica o alternante
Come si può fare per dimostrare che data una forma bilineare simmetrica o alternante su uno spazio vettoriale V di dimensione $n$ ed $r=dim(V^{\bot})$ esiste una matrice inveribile $A$ di dim $(n-r)x(n-r)$ tale che
$B~((A,0),(0,0))$?
$B~((A,0),(0,0))$?
Risposte
Fissiamo le notazioni:
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ con caratteristica diversa da $2$. Sia $b : V times V -> K$ forma bilineare (anti)simmetrica.
Sia $V^{bot}$ il radicale della forma $b$ e sia $r = dim (V^{bot}).
Per ogni $v in V$ definisco l'applicazione $b_v : V -> K \ , \ w -> b(v,w) \ $; si vede facilmente che questa mappa è lineare e quindi $b_v in V^{*}$ appartiene al duale di $V$.
Definisco $delta \ : \ V -> V^* \ , \ v -> b_v \ $; ovviamente quest'applicazione è lineare.
*) Sia $v_1,...,v_n$ una base di $V$ e sia $A in M_n (K)$ la matrice che rappresenta la forma $b$ rispetto a questa base.
Sia $phi_1,...,phi_n$ la base duale della base sopra. Sia $C in M_n (K)$ la matrice che rappresenta l'applicazione $delta$ rispetto alle basi $\{ v_i \}$ e $\{ phi_j \}$.
Allora $C= ^t A$: $C$ è la trasposta di $A$.
Dim: $delta(v_i) = b_{v_i} = sum_{j=1}^n b_{v_i} (v_j) phi_j = sum_{j=1}^n b(v_i,v_j) phi_j = sum_{j=1}^n a_{ij} phi_j$, quindi la i-esima colonna di $C$ è la trasposta della i-esima riga di $A$.
**) $V^{bot} = Ker delta$
Dim: facile.
***) Ogni matrice che rappresenta la forma $b$ ha rango $n-r$
Dim: Usando le stesse notazioni di prima ho $rk A = rk ^t A = rk C = dim Im delta = dim V - dim Ker delta = n - r$.
Ora veniamo alla nostra proposizione:
1) se $b$ è simmetrica, uso il teorema di ortogonalizzazione che afferma che esiste una base ortogonale per la forma; quindi esiste una matrice diagonale $B$ che rappresenta la forma; ma il rango di $B$ deve essere $n-r$; quindi tra gli elementi sulla diagonale: $r$ sono nulli e $n-r$ sono non nulli. A meno di permutarli (che corrisponde a una permutazione della base) posso supporre che gli elementi non nulli siano i primi $n-r$, quindi ottengo una matrice $B$ del tipo richiesto.
2) se $b$ è antisimmetrica, uso la forma canonica delle forme antisimmetriche che afferma che ogni forma antisimmetrica può essere rappresentata da una matrice diagonale a blocchi e i blocchi sono del tipo $((0, 1),(-1, 0))$ o il blocco nullo; quindi a meno di permutare i blocchi e imponendo la condizione sul rango ottengo e una matrice del tipo richiesto.
Sia $V$ spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ con caratteristica diversa da $2$. Sia $b : V times V -> K$ forma bilineare (anti)simmetrica.
Sia $V^{bot}$ il radicale della forma $b$ e sia $r = dim (V^{bot}).
Per ogni $v in V$ definisco l'applicazione $b_v : V -> K \ , \ w -> b(v,w) \ $; si vede facilmente che questa mappa è lineare e quindi $b_v in V^{*}$ appartiene al duale di $V$.
Definisco $delta \ : \ V -> V^* \ , \ v -> b_v \ $; ovviamente quest'applicazione è lineare.
*) Sia $v_1,...,v_n$ una base di $V$ e sia $A in M_n (K)$ la matrice che rappresenta la forma $b$ rispetto a questa base.
Sia $phi_1,...,phi_n$ la base duale della base sopra. Sia $C in M_n (K)$ la matrice che rappresenta l'applicazione $delta$ rispetto alle basi $\{ v_i \}$ e $\{ phi_j \}$.
Allora $C= ^t A$: $C$ è la trasposta di $A$.
Dim: $delta(v_i) = b_{v_i} = sum_{j=1}^n b_{v_i} (v_j) phi_j = sum_{j=1}^n b(v_i,v_j) phi_j = sum_{j=1}^n a_{ij} phi_j$, quindi la i-esima colonna di $C$ è la trasposta della i-esima riga di $A$.
**) $V^{bot} = Ker delta$
Dim: facile.
***) Ogni matrice che rappresenta la forma $b$ ha rango $n-r$
Dim: Usando le stesse notazioni di prima ho $rk A = rk ^t A = rk C = dim Im delta = dim V - dim Ker delta = n - r$.
Ora veniamo alla nostra proposizione:
1) se $b$ è simmetrica, uso il teorema di ortogonalizzazione che afferma che esiste una base ortogonale per la forma; quindi esiste una matrice diagonale $B$ che rappresenta la forma; ma il rango di $B$ deve essere $n-r$; quindi tra gli elementi sulla diagonale: $r$ sono nulli e $n-r$ sono non nulli. A meno di permutarli (che corrisponde a una permutazione della base) posso supporre che gli elementi non nulli siano i primi $n-r$, quindi ottengo una matrice $B$ del tipo richiesto.
2) se $b$ è antisimmetrica, uso la forma canonica delle forme antisimmetriche che afferma che ogni forma antisimmetrica può essere rappresentata da una matrice diagonale a blocchi e i blocchi sono del tipo $((0, 1),(-1, 0))$ o il blocco nullo; quindi a meno di permutare i blocchi e imponendo la condizione sul rango ottengo e una matrice del tipo richiesto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo