[MatematicaDiscreta] Esercizio Insiemistica
Salve ragazzi, ho dei problemi con la risoluzione di questo esercizio. 
Non so proprio da dove cominciare!
Siano:
$X = RR$
$A = {x in RR | x^26 + x^16 - 2 = 0}$
$B = {-1, 0, 1, 2}$
a) Volendo calcolare $AnnB$ possiamo scegliere tra due definizioni equivalenti:
$AnnB = {x in A | x in B}$ oppure $AnnB = {x in B | x in A}$
Quale delle due è più semplice? Dare una motivazione e calcolare $AnnB$
b) Determinare la lista degli elementi $B$ [size=130]\[/size] $A$
c) Scrivere $AuuB$ come unione di due insiemi disgiunti.
Teoricamente alcune parti dell'esercizio le ho capite:
a) $AnnB$ sarebbe l'insieme di intersezione delle soluzioni dell'equazione nell'inieme $A$ con gli elementi dell'insieme $B$. Esatto? Ma non capisco come si possa arrivare a capire quale, tra le due intersezioni, sia la più semplice... ma soprattutto non so come comportarmi con l'equazione $x^26 + x^16 - 2 = 0$.
b) Anche qui. Bisognerebbe che io capissi come funziona quell'equazione che mi spaventa. L'insieme $B$ [size=130]\[/size] $A$ è l'insieme degli elementi di $B$, meno le soluzioni dell'equazione $x^26 + x^16 - 2 = 0$. Esatto?
c) L'unione di due insiemi disgiunti la scriverei come
$AuuB = {x | x in (AuuB) ^^ x notin (AnnB)}$ quindi $AuuB = {x | x in (AuuB)$ [size=130]\[/size] $(AnnB)}$ . Esatto?
Ma non so come descriverla in funzione dell'equazione data nell'insieme $A$
Non so proprio da dove cominciare! Siano:
$X = RR$
$A = {x in RR | x^26 + x^16 - 2 = 0}$
$B = {-1, 0, 1, 2}$
a) Volendo calcolare $AnnB$ possiamo scegliere tra due definizioni equivalenti:
$AnnB = {x in A | x in B}$ oppure $AnnB = {x in B | x in A}$
Quale delle due è più semplice? Dare una motivazione e calcolare $AnnB$
b) Determinare la lista degli elementi $B$ [size=130]\[/size] $A$
c) Scrivere $AuuB$ come unione di due insiemi disgiunti.
Teoricamente alcune parti dell'esercizio le ho capite:
a) $AnnB$ sarebbe l'insieme di intersezione delle soluzioni dell'equazione nell'inieme $A$ con gli elementi dell'insieme $B$. Esatto? Ma non capisco come si possa arrivare a capire quale, tra le due intersezioni, sia la più semplice... ma soprattutto non so come comportarmi con l'equazione $x^26 + x^16 - 2 = 0$.
b) Anche qui. Bisognerebbe che io capissi come funziona quell'equazione che mi spaventa. L'insieme $B$ [size=130]\[/size] $A$ è l'insieme degli elementi di $B$, meno le soluzioni dell'equazione $x^26 + x^16 - 2 = 0$. Esatto?
c) L'unione di due insiemi disgiunti la scriverei come
$AuuB = {x | x in (AuuB) ^^ x notin (AnnB)}$ quindi $AuuB = {x | x in (AuuB)$ [size=130]\[/size] $(AnnB)}$ . Esatto?
Ma non so come descriverla in funzione dell'equazione data nell'insieme $A$
Risposte
Ciao darkfog 
Andiamo con ordine:
[list=a]
[*:gzu6qwiw]Immagino che chiunque non sarebbe mai così tanto propenso a voler risolvere l'equazione che devono soddisfare gli elementi dell'insieme $A$
. Per questo motivo se utilizzi la seconda delle due definizioni proposte, ossia $A \cap B = \{x \in B | x \in A\}$, è sufficiente verificare quali tra gli elementi di $B$ soddisfano anche il vincolo di appartenza all'insieme $A$. In questo modo basta che fai banalmente una sostituzione degli elementi di $B$ nella complicata equazione dell'insieme $A$ per determinare l'intersezione;[/*:m:gzu6qwiw]
[*:gzu6qwiw]Una volta svolto il punto a possiamo anche dire come gli insiemi siano disgiunti e pertanto se esegui $B \backslash A = B \backslash (A \cap B)$ ottieni il risultato cercato;[/*:m:gzu6qwiw]
[*:gzu6qwiw]L'unione di due insiemi disgiunti $A$ e $B$ si può in generale scrivere come:
\[
A \cup B = (A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) = \{x \in A \text{ }|\text{ } x \notin B\} \cup \{x \in A \text{ }|\text{ } x \in B\} \cup \{x \in B \text{ }|\text{ } x \notin A\}.
\]
Arrivato a questo punto basta che riscrivi i vincoli di appartenenza ai vari insiemi in base a quelli dati dal testo dell'esercizio.[/*:m:gzu6qwiw][/list:o:gzu6qwiw]
Andiamo con ordine:
[list=a]
[*:gzu6qwiw]Immagino che chiunque non sarebbe mai così tanto propenso a voler risolvere l'equazione che devono soddisfare gli elementi dell'insieme $A$
. Per questo motivo se utilizzi la seconda delle due definizioni proposte, ossia $A \cap B = \{x \in B | x \in A\}$, è sufficiente verificare quali tra gli elementi di $B$ soddisfano anche il vincolo di appartenza all'insieme $A$. In questo modo basta che fai banalmente una sostituzione degli elementi di $B$ nella complicata equazione dell'insieme $A$ per determinare l'intersezione;[/*:m:gzu6qwiw][*:gzu6qwiw]Una volta svolto il punto a possiamo anche dire come gli insiemi siano disgiunti e pertanto se esegui $B \backslash A = B \backslash (A \cap B)$ ottieni il risultato cercato;[/*:m:gzu6qwiw]
[*:gzu6qwiw]L'unione di due insiemi disgiunti $A$ e $B$ si può in generale scrivere come:
\[
A \cup B = (A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) = \{x \in A \text{ }|\text{ } x \notin B\} \cup \{x \in A \text{ }|\text{ } x \in B\} \cup \{x \in B \text{ }|\text{ } x \notin A\}.
\]
Arrivato a questo punto basta che riscrivi i vincoli di appartenenza ai vari insiemi in base a quelli dati dal testo dell'esercizio.[/*:m:gzu6qwiw][/list:o:gzu6qwiw]
Ciao onlyReferee! Ti adoro! Anche io stavo per scrivere la stessa soluzione, ma parziale, perchè continuo ad avere dubbi sull'unione degli insiemi disgiunti. In questi giorni ci ho ragionato e adesso ti scrivo ciò che ho pensato, correggimi e ti prego di aiutarmi a capire meglio l'unione degli insiemi disgiunti.
Procedimento:
a) Tra le due soluzioni equivalenti, per semplicità sceglierei $A nn B = {x in B | x in A}$ dato che è molto più facile sostituire i valori dell'insieme $B$ nell'equazione dell'insieme $A$ in modo tale da ottenere $0$ quindi direi che
$A nn B = {-1, 1}$ perchè sostituendo i due valori nell'equazione ottengo $0$.
b) Per calcolare $B$ \ $A$ ragiono sul fatto che adesso conosco almeno due delle soluzioni dell'equazione che coincidono con l'insieme $B$ quindi $B$ \ $A$ $= {0, 2}$
c) Per scrivere $A uu B$ come unione di insiemi disgiunti potrei provare a dire che
$A uu B = {-1, 0, 1, 2 . . .$ e tutte le altre soluzioni dell'equazione$}$
$A nn B = \emptyset$
So che la dimostrazione c) è un po' ambigua e mi desta qualche dubbio anche perchè: se $A$ e $B$ hanno almeno due soluzioni in comune, come fa l'intersezione a generare un insieme vuoto? Due insiemi disgiunti non hanno nessun elemento in comune quindi l'unione dei due insiemi disgiunti sarebbe
$A uu B = {0, 2, ...$ e tutte le $x in A$ che NON sono soluzioni dell'equazione$}$
Procedimento:
a) Tra le due soluzioni equivalenti, per semplicità sceglierei $A nn B = {x in B | x in A}$ dato che è molto più facile sostituire i valori dell'insieme $B$ nell'equazione dell'insieme $A$ in modo tale da ottenere $0$ quindi direi che
$A nn B = {-1, 1}$ perchè sostituendo i due valori nell'equazione ottengo $0$.
b) Per calcolare $B$ \ $A$ ragiono sul fatto che adesso conosco almeno due delle soluzioni dell'equazione che coincidono con l'insieme $B$ quindi $B$ \ $A$ $= {0, 2}$
c) Per scrivere $A uu B$ come unione di insiemi disgiunti potrei provare a dire che
$A uu B = {-1, 0, 1, 2 . . .$ e tutte le altre soluzioni dell'equazione$}$
$A nn B = \emptyset$
So che la dimostrazione c) è un po' ambigua e mi desta qualche dubbio anche perchè: se $A$ e $B$ hanno almeno due soluzioni in comune, come fa l'intersezione a generare un insieme vuoto? Due insiemi disgiunti non hanno nessun elemento in comune quindi l'unione dei due insiemi disgiunti sarebbe
$A uu B = {0, 2, ...$ e tutte le $x in A$ che NON sono soluzioni dell'equazione$}$
Innanzitutto c'era un piccolo errore di battitura nel punto c presente nel mio post che ho già provveduto a correggere. Tornando a noi:
Come hai detto giustamente l'intersezione tra i nostri due insiemi non è vuota. Per esprimere l'insieme $A \cup B$ come unione di insiemi disgiunti ti conviene procedere così (facendo anche un disegno se necessario): prendi l'ultimo modo in cui ho riscritto l'unione di $A$ e $B$ e dei tre insiemi che compongono l'unione ne fai risultare soltanto due considerando il primo ed il secondo oppure il secondo ed il terzo (la scelta è completamente arbitraria) come insieme unico. Mi spiego meglio... Quanto scritto qui sotto
\[ A \cup B = (A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) = \{x \in A \text{ }|\text{ } x \notin B\} \cup \{x \in A \text{ }|\text{ } x \in B\} \cup \{x \in B \text{ }|\text{ } x \notin A\} \]
puoi vederlo sia come
\[ A \cup B = (A \backslash B) \cup ((A \cap B) \cup (B \backslash A)) \]
che
\[ A \cup B = ((A \backslash B) \cup (A \cap B)) \cup (B \backslash A)
.\]
Da qui è sufficiente esplicitare per bene cosa contengono i singoli insiemi componenti l'unione.
"darkfog":
[...]
c) Per scrivere $A uu B$ come unione di insiemi disgiunti potrei provare a dire che
$A uu B = {-1, 0, 1, 2 . . .$ e tutte le altre soluzioni dell'equazione$}$
$A nn B = \emptyset$
So che la dimostrazione c) è un po' ambigua e mi desta qualche dubbio anche perchè: se $A$ e $B$ hanno almeno due soluzioni in comune, come fa l'intersezione a generare un insieme vuoto? Due insiemi disgiunti non hanno nessun elemento in comune quindi l'unione dei due insiemi disgiunti sarebbe
$A uu B = {0, 2, ...$ e tutte le $x in A$ che NON sono soluzioni dell'equazione$}$
Come hai detto giustamente l'intersezione tra i nostri due insiemi non è vuota. Per esprimere l'insieme $A \cup B$ come unione di insiemi disgiunti ti conviene procedere così (facendo anche un disegno se necessario): prendi l'ultimo modo in cui ho riscritto l'unione di $A$ e $B$ e dei tre insiemi che compongono l'unione ne fai risultare soltanto due considerando il primo ed il secondo oppure il secondo ed il terzo (la scelta è completamente arbitraria) come insieme unico. Mi spiego meglio... Quanto scritto qui sotto
\[ A \cup B = (A \backslash B) \cup (A \cap B) \cup (B \backslash A) = \{x \in A \text{ }|\text{ } x \notin B\} \cup \{x \in A \text{ }|\text{ } x \in B\} \cup \{x \in B \text{ }|\text{ } x \notin A\} \]
puoi vederlo sia come
\[ A \cup B = (A \backslash B) \cup ((A \cap B) \cup (B \backslash A)) \]
che
\[ A \cup B = ((A \backslash B) \cup (A \cap B)) \cup (B \backslash A)
.\]
Da qui è sufficiente esplicitare per bene cosa contengono i singoli insiemi componenti l'unione.
Quindi... se ho capito bene:
$A \cup B = (A \backslash B) \cup ((A \cap B) \cup (B \backslash A))$
$A \backslash B = {$ tutte le soluzioni dell'equazione esclusi ${-1,1}$ che sono contenuti in $B }$
$AnnB = {-1,1}$
$B \backslash A = {0,2}$
Però continuo a non capire. Mettendo insieme tutti questi elementi ottengo l'unione dei due insiemi mentre per definizione di unione di insiemi disgiunti so che non dovrebbero avere elementi in comune
Non capisco se l'esercizio richiede solo di riscriverli come insiemi disgiunti oppure richiede una dimostrazione che affermi o contraddica quello che rappresentano gli insiemi perchè se dovessi dimostrare una cosa del genere otterrei una contraddizione.
l'unione degli insiemi disgiunti è l'unione degli elementi dell'insieme $A$ e $B$ t.c. questi ultimi non abbiano elementi in comune:
$A uu B = (x in AuuB) ^^ (x notin AnnB) rArr$
$rArr (x in A vv x in B) ^^ (x notin A ^^ x notinB)$
Nel nostro caso ${-1,1} in AnnB$, questo contraddice la definizione. Correggimi se sbaglio
$A \cup B = (A \backslash B) \cup ((A \cap B) \cup (B \backslash A))$
$A \backslash B = {$ tutte le soluzioni dell'equazione esclusi ${-1,1}$ che sono contenuti in $B }$
$AnnB = {-1,1}$
$B \backslash A = {0,2}$
Però continuo a non capire. Mettendo insieme tutti questi elementi ottengo l'unione dei due insiemi mentre per definizione di unione di insiemi disgiunti so che non dovrebbero avere elementi in comune
Non capisco se l'esercizio richiede solo di riscriverli come insiemi disgiunti oppure richiede una dimostrazione che affermi o contraddica quello che rappresentano gli insiemi perchè se dovessi dimostrare una cosa del genere otterrei una contraddizione.
l'unione degli insiemi disgiunti è l'unione degli elementi dell'insieme $A$ e $B$ t.c. questi ultimi non abbiano elementi in comune:
$A uu B = (x in AuuB) ^^ (x notin AnnB) rArr$
$rArr (x in A vv x in B) ^^ (x notin A ^^ x notinB)$
Nel nostro caso ${-1,1} in AnnB$, questo contraddice la definizione. Correggimi se sbaglio
Tutto sta nel stare attenti nel non contemplare gli elementi dell'intersezione due volte ergo per uno dei due insiemi $A$ e $B$ bisogna per forza escludere loro intersezione $A \cap B$. Da ciò deriva il fatto di considerare nella nostra unione $A \backslash B$ e $B \backslash A$.
L'esercizio richiede di fatto di esprimere l'unione di due insiemi disgiunti e stop, stando a ciò che è scritto non è necessaria una dimostrazione.
Nella tua dimostrazione comunque l'errore in realtà sta all'inizio poiché non si può escludere a priori che un elemento appartenente all'unione degli insiemi non stia nell'intersezione.
L'esercizio richiede di fatto di esprimere l'unione di due insiemi disgiunti e stop, stando a ciò che è scritto non è necessaria una dimostrazione.
Nella tua dimostrazione comunque l'errore in realtà sta all'inizio poiché non si può escludere a priori che un elemento appartenente all'unione degli insiemi non stia nell'intersezione.
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