Matematica Discreta - Verifica isomorfismo di funzione inversa
Salve ho qualche problema nel dimostrare "formalmente" questa verifica.
Il testo recita così: "Siano $ (S,**) $ e $ (T,@ ) $ strutture algebriche, e sia $ f:Srarr T $ un isomorfismo di S in T. Verificare che $ f^-1 $ è un isomorfismo di T in S."
So che un omomorfismo si ha quando l'immagine del composto di due elementi del dominio è uguale al composto delle due immagini con l'operazione del codominio. Cioè per ogni x,y appartenenti a S, $ f(x** y)=f(x)@ f(y) $ .
Dato che abbiamo un isomorfismo, f è biettiva e dunque invertibile. Ora f^-1 è ovviamente biettiva ma come faccio a dimostrare che è un omomorfismo a sua volta, in modo da poter poi asserire che è un isomorfismo?? Vi ringrazio in anticipo.
Il testo recita così: "Siano $ (S,**) $ e $ (T,@ ) $ strutture algebriche, e sia $ f:Srarr T $ un isomorfismo di S in T. Verificare che $ f^-1 $ è un isomorfismo di T in S."
So che un omomorfismo si ha quando l'immagine del composto di due elementi del dominio è uguale al composto delle due immagini con l'operazione del codominio. Cioè per ogni x,y appartenenti a S, $ f(x** y)=f(x)@ f(y) $ .
Dato che abbiamo un isomorfismo, f è biettiva e dunque invertibile. Ora f^-1 è ovviamente biettiva ma come faccio a dimostrare che è un omomorfismo a sua volta, in modo da poter poi asserire che è un isomorfismo?? Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Dato che $f$ è iniettiva, due elementi di $S$ sono uguali se e solo se lo sono le loro immagini tramite $f$, ma allora per verificare che $f^{-1}(x \circ y)=f^{-1}(x) ** f^{-1}(y)$ è sufficiente mostrare che $f(f^{-1}(x \circ y))=f(f^{-1}(x) ** f^{-1}(y))$, e si vede facilmente che entrambi i membri di quest'ultima uguaglianza sono uguali a $x \circ y$.
Alquanto esauriente, ti ringrazio!
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